optimalisering

[Sasha]

En wire med lengde L deles i to deler. Den ene delen bøyes til et kvadrat og den andre til en likesidet trekant. Avgjør hvordan wiren skal deles for at summen av de to arealene skal bli minst mulig.

Sidene av kvadratet kaller jeg x, og sidene av trekanten kaller jeg y.

Omkretsen av de to figurene blir da:

[tex] L=4x+3y [/tex]

Arealet av kvadratet er [tex]A_{kvadrat} = x^2[/tex] mens arealet av trekanten er [tex]A_{trekant} =\frac{g*h}{2}[/tex]

Vi tenker oss at halve grunnflaten er [tex]\frac{y}{2}[/tex] da kan vi definere høyden h ved hjelp av pytagoras:

[tex]y^2 = h^2 + (\frac{y}{2})^2[/tex]

[tex]h^2 = y^2 - (\frac{y}{2})^2[/tex]
[tex]h = \sqrt{y^2(1 - \frac{1}{4})}[/tex]
[tex]h = y*\sqrt{\frac{3}{4}}[/tex]
[tex]h = y* \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Arealet av trekanten er da :

[tex]A_{trekant} = \frac{g*h}{2} = \frac{y*y*\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}[/tex]


[tex]A_{trekant} = \frac{g*h}{2} = \frac{y^2 *\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{y^2 * \sqrt{3}}{4} [/tex]

Arealet av begge:

[tex]A_{total} = x^2 + \frac{y^2 * \sqrt{3}}{4} [/tex]

Vi eliminerer x:

[tex] L=4x+3y [/tex]

[tex] \frac{(L - 3y)}{4} = x [/tex]

[tex]A_{total} = (\frac{L - 3y}{4})^2 + \frac{y^2 * \sqrt{3}}{4} [/tex]

[tex]A_{total}(y) = \frac{L^2 - 6Ly + 9y^2}{16} + \frac{y^2 * \sqrt{3}}{4} [/tex]

[tex]A_{total}(y) = \frac{L^2 - 6Ly + 9y^2 + 4y^2 * \sqrt{3}}{16} [/tex]

Vi finner minimumsverdien ved å derivere og sette lik 0

[tex]\frac{1}{16} \frac{d}{dy} = 0 - 6L + 18y + 8y * \sqrt{3} = 18y + 8y\sqrt{3} - 6L[/tex]


[tex]\frac{d}{dy} = 0[/tex]

[tex]\frac{18y + 8y\sqrt{3} - 6L}{16} = 0[/tex]
[tex]18y + 8y\sqrt{3} - 6L = 0[/tex]

[tex]y(18 + 8\sqrt{3}) - 6L = 0[/tex]
[tex]y(18 + 8\sqrt{3}) = 6L[/tex]

[tex]y = \frac{6L}{18 + 8\sqrt{3}}[/tex]

Hva gjør vi nå da?

Fasiten sier:

[tex]\frac{4L}{4+3\sqrt{3}}[/tex] til kvadratet.

[Solar Plexsus]

Du beregner [tex]x[/tex] ved å anvende likningen [tex]4x + 3y = L[/tex], dvs.

[tex]4x \;=\; L \:-\: 3y \;=\; L \:-\: \frac{9L}{9 \:+\: 4\sqrt{3}} \;=\; \frac{4\sqrt{3}L}{9 \:+\: 4\sqrt{3}}. [/tex]

Ved å dele med [tex]\sqrt{3}[/tex] i teller og nevner, får vi at

[tex]x \;=\; \frac{L}{4 \:+\: 3\sqrt{3}}.[/tex]