Polynomoppgave
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Bevis at dersom f(x) er et polynom med heltallige koeffisienter, vil f(a+f(a)) være et multippel av f(a) for alle heltallige a.
Sist redigert av daofeishi den 06/10-2007 13:18, redigert 1 gang totalt.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Antar det skal være f(a+f(a)). Denne oppgava er fullt mulig å løse for vgs-elever!
Og dette er jo også en fin måte å bevise at det ikke finnes noen polynomer som kan gi kun primtall.
Usikker på hvor generell denne løsningen er, men prøver likevel.
Lager en funksjon f(x), forhåpentligvis WLOG
[tex]f(x) = 3x+1[/tex]
[tex]f(a) = 3a+1[/tex]
[tex]f(a+f(a)) = 3(a+f(a))+1 = 3a+3(3a+1)+1[/tex]
[tex] = 12a+4 = 4(3a+1)[/tex]
Og vi er ferdige.
Lager en funksjon f(x), forhåpentligvis WLOG
[tex]f(x) = 3x+1[/tex]
[tex]f(a) = 3a+1[/tex]
[tex]f(a+f(a)) = 3(a+f(a))+1 = 3a+3(3a+1)+1[/tex]
[tex] = 12a+4 = 4(3a+1)[/tex]
Og vi er ferdige.
Èg er Islendingur 
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Hvis W-en din står for with, er det greit...
Litt hjelp: La (utag...) [tex]f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i[/tex] og prøv å regne rett fram, da skal du ikke se bort fra at det kommer litt resultater ut.
Litt hjelp: La (utag...) [tex]f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i[/tex] og prøv å regne rett fram, da skal du ikke se bort fra at det kommer litt resultater ut.
hmmm, var et håp om at det var "without", men det får være.mrcreosote skrev:Hvis W-en din står for with, er det greit...
Litt hjelp: La (utag...) [tex]f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i[/tex] og prøv å regne rett fram, da skal du ikke se bort fra at det kommer litt resultater ut.
Med den summen du skriver der., sliter jeg litt med å forstå hvordan jeg
skal skrive den. Lurer f.eks på hvorfor a også endrer seg, er ikke det en konstant..?
Kan du bare gi et eksempel hvis n=2,
?Èg er Islendingur
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
(Jeg bytter ut a_i-ene med c_i, kan kanskje bli litt rotete.)
[tex]f(x)=\sum_{i=0}^nc_ix^i [/tex] er bare en komprimert måte å skrive [tex]f(x)=c_0+c_1x+\dots+c_nx^n[/tex] på.
Vi har nå at [tex]f(a) = \sum_{i=0}^nc_ia^i = c_0+c_1a+\dots+c_na^n[/tex]. Hva er f(a+f(a))? Regn ut. Klarer du å faktorisere ut f(a) fra dette er du i mål!
Er ikke noen grunn til å gjøre det eksplisitt for n=2, virker som du har forstått prinsippene og hva du skal gjøre. Knot litt med bokstavene nå og se om det ikke blir bra.
[tex]f(x)=\sum_{i=0}^nc_ix^i [/tex] er bare en komprimert måte å skrive [tex]f(x)=c_0+c_1x+\dots+c_nx^n[/tex] på.
Vi har nå at [tex]f(a) = \sum_{i=0}^nc_ia^i = c_0+c_1a+\dots+c_na^n[/tex]. Hva er f(a+f(a))? Regn ut. Klarer du å faktorisere ut f(a) fra dette er du i mål!
Er ikke noen grunn til å gjøre det eksplisitt for n=2, virker som du har forstått prinsippene og hva du skal gjøre. Knot litt med bokstavene nå og se om det ikke blir bra.
