Bevis 1R

[mastoks]

Trenger hjelp med noen bevisopggaver:

1) Vi at det ikke finnes noen brøk a/b som er slik at (a/b)^2=3

Det jeg har gjort er å regne om a/b= [symbol:rot] 3
slik at jeg har fått a^2=3b^2. etter det kommer jeg ikke lenger, men har ikke peiling på om det er noe riktig det jeg gjør.

2) vis at n^5+4n er deleling med 5.
det står at jeg skal setter n=5t+p og regner ut n^5+4 .

Takker dem som gidder å hjelpe meg:)

[arildno]

Tja, a^2 er delelig med 3; da skulle det være rimelig at a er delelig med 3 også, ikke sant?

Istedet for å prøve å bevise dette "rimelige" utsagnet (som er riktig), prøv å anvende det!

Det vil si:
Anta at a^2 delelig med 3 impliserer a=3*k, hvor k er et heltall.

Hva må da gjelde for tallet b?

[sEirik]

Generelt gjelder det at med mindre [tex]\sqrt{n}[/tex] er et naturlig tall, så er [tex]\sqrt{n}[/tex] et irrasjonalt tall. Lett å vise, på samme måte som jeg viser det for n=3:

[tex]\sqrt{3} = \frac{a}{b}[/tex]

[tex]a^2 = 3b^2[/tex]

Anta at a har primtallsfaktorisering [tex]p_1 \cdot p_2 \cdot ... p_m[/tex] og b har primtallsfaktorisering [tex]q_1 \cdot q_2 \cdot ... q_n[/tex]. Da er

[tex](p_1 \cdot p_2 \cdot ... p_m)^2 = 3 \cdot (q_1 \cdot q_2 \cdot ... q_n)^2[/tex].

Vi ser at faktoren 3 er representert et partall antall ganger på venstresiden, mens den er representert et oddetall antall ganger på høyresiden. Dette strider mot Aritmetikkens fundamentalteorem, altså har vi en selvmotsigelse. [tex]\sqrt{3}[/tex] må være irrasjonalt.

[ettam]

1)

Antar at [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er heltall.

Dersom [tex](\frac{a}{b})^2 = 3[/tex] må

[tex]\frac{a}{b} = \pm \sqrt{3}[/tex] (*)

[tex]\sqrt{3}[/tex] er et irrasjonalt tall, dvs kan ikke skrives som en brøk dermed har ikke (*) noen løsningen når [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er heltall.

Dermed finnes det ingen brøk som er slik at [tex](\frac{a}{b})^2 = 3[/tex]


Edit: Ser at noen kom før meg

[sEirik]

Tror du har sneket deg litt rundt problemet, ettam, meningen var helt sikkert å bevise at [tex]\sqrt{3}[/tex] er irrasjonalt.

[ettam]

Trenger hjelp med noen bevisopggaver:

2) vis at n^5+4n er deleling med 5.
det står at jeg skal setter n=5t+p og regner ut n^5+4 .

Ikke helt...

[tex]n= 5t+p[/tex] setter du det inn i [tex]n^5+4n[/tex] og viser at det du da får er delelig med 5.

[ettam]

Tror du har sneket deg litt rundt problemet, ettam, meningen var helt sikkert å bevise at [tex]\sqrt{3}[/tex] er irrasjonalt.

Du kan kanskje lese oppgaven slik, men jeg mener at det ikke spørres slik...

[arildno]

Pr. definisjon er roten av 3 det tallet som kvadrert gir 3.

Derfor spør oppgaven eksplisitt om at du skal bevise at roten av tre ikke er et brøktall.

[ettam]

okey, jeg gir meg...

[mastoks]

[tex](p_1 \cdot p_2 \cdot ... p_m)^2 = 3 \cdot (q_1 \cdot q_2 \cdot ... q_n)^2[/tex].

Vi ser at faktoren 3 er representert et partall antall ganger på venstresiden, mens den er representert et oddetall antall ganger på høyresiden. Dette strider mot Aritmetikkens fundamentalteorem, altså har vi en selvmotsigelse. [tex]\sqrt{3}[/tex] må være irrasjonalt.

Takk for hjelpen, men jeg er ikke helt med når du sier at faktoren 3 er representert et partall antall ganger på venstre side og et oddetall antall ganger på høyresiden? kan du forklare litt nærmere på akkurat det?

[Karl_Erik]

Aritmetikkens fundamentalteorem sier at alle heltall kun kan faktoriseres på en måte; dvs at du kan skrive den som et produkt av primtall på bare en måte. Det du kom fram til, var at p^2=3*q^2, sant? Tenk deg så at du faktoriserer p og q, som begge er hele tall. Samme hvor mange ganger 3 er representert i faktoriseringen av p, må den være representert dobbelt så mange ganger i p^2, sant? Altså er antallet 3-tall i faktoriseringen av p^2 et partall. Det samme gjelder for q^2, men her har du i et tretall 'ekstra', så det antallet 3-tall i faktoriseringen av høyresiden. Problemet er det at det skal være like mange 3-tall-faktorer på begge sider, og et partall aldri er lik et oddetall.