Utlede derivasjonsreglene

[sEirik]

Gitt definisjonen på derivasjon,

[tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/tex]

Vil noen utlede derivasjonsreglene?

[tex](k \cdot f(x))^\prime = k \cdot f^\prime(x)[/tex] der k er en reell konstant

[tex](x^n)^\prime = nx^{n-1}[/tex] for alle reelle tall n

[tex](f \cdot g)^\prime = f^\prime g + fg^\prime[/tex] der f og g er funksjoner av x

[tex](\frac{f}{g})^\prime = \frac{f^\prime g - fg^\prime}{g^2}[/tex] der f og g er funksjoner

[tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] der e er eulers tall

[tex](\ln |x|)^\prime = \frac{1}{x}[/tex] der ln er den naturlige logaritmen

[tex]f^\prime(x) = f^\prime(u) \cdot u^\prime[/tex]

[ingentingg]

Hvis du har noen forslag til noen av de så kan du skrive de, så kan vi hjelpe deg der hvor du står fast. Alle de utledningene vil stå i en standard lærebok i matematikk.

Kan ev se link under, se linkene til høyre for å se de forskjellige funksjonene:
http://en.wikipedia.org/wiki/Product_rule

[Magnus]

Vel. Først kan man si at dette med konstanter følger rett fra grenseverdiregning. Et bevis jeg ikke gidder å ta her (epsilon-delta-drit). Så hvis du vil lære litt om dette anbefaler jeg deg også at du leser litt om grenser, søk på "epsilon delta limits" eller noe i den duren.

Her kan du se et bevis for [tex]x^r[/tex] der r er et heltall. Er vel bare formaliteter som gjør at det ikke gjelder for alle tall, men det har jeg ikke orket.: http://www.realisten.com/artikkel.php?id=162

[sEirik]

Hehe, greit, jeg har jo klart å bevise noen av dem da. Det ene problemet er å bevise dem i rett rekkefølge ut fra hverandre - kan f.eks. bevise brøkregelen ut fra produktregelen og kjerneregelen, men da må de allerede være bevist.

Sumregelen, ut fra definisjonen:

[tex](f + g)^\prime = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \ \frac{f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x) - f(x) - g(x)}{\Delta x}[/tex]

[tex]f^\prime + g^\prime = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \frac{g(x + \Delta x)- g(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \ \frac{f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x) - f(x) - g(x)}{\Delta x}[/tex]

[tex](f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime[/tex]

Q.E.D.



Konstantregelen, som følger fra definisjonen:

[tex](k \cdot f(x))^\prime = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \ \frac{k \cdot f(x + \Delta x) - k \cdot f(x)}{\Delta x} = k(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x})[/tex]

[tex]k \cdot f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \ k \cdot \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = k(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x})[/tex]

[tex](k \cdot f(x))^\prime = k \cdot f^\prime(x)[/tex]

Q.E.D.



Kjerneregelen, ut fra definisjonen på derivasjon

Vi har at [tex]f^\prime (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \frac{\Delta f}{\Delta x}[/tex]

Altså er [tex]f^\prime (u) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \frac{\Delta f}{\Delta u}[/tex]

Dessuten er [tex]u^\prime (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \frac{\Delta u}{\Delta x}[/tex]

Da er [tex]f^\prime(u) \cdot u^\prime(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \ \frac{\Delta f}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \ \frac{\Delta f}{\Delta x} = f^\prime (x)[/tex]

Q.E.D.



Produktregelen klarer jeg ikke å bevise. Skal lese på wikipedia, men det går litt i surr - så mange ting å holde styr på i det beviset.


Så skal jeg ta litt flere regler senere.

[Magnus]

Vel. Du går fortsatt ikke helt fra bunn da, men vi kan vel anta at setningene for grenser er kjente. Men nå er jeg vel for pedantisk her.

[GQ]

[tex](f + g)^\prime = g^\prime + g^\prime[/tex]

Du mener vel: [tex](f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime[/tex]

Fine bevis forresten!

[sEirik]

Du mener vel: [tex](f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime[/tex]

Fine bevis forresten!

Selvfølgelig, bare en kjapp feil som snek seg inn der.


Nå er det vel slik at vi ikke har lært om setningene for grenser ennå, men vi får vel anta at de er kjente allikevel. Evt. kan noen liste de opp hvis de ser det nødvendig?

[sEirik]

Skal vi se, litt flere bevis:

Brøkregelen, gitt produktregelen, potensregelen for [tex](x^{-1})^\prime[/tex] og kjerneregelen:

[tex](\frac{u}{v})^\prime = (u \cdot v^{-1})^\prime[/tex]

[tex](v^{-1}) = -\frac{1}{v^2}[/tex]

[tex](u \cdot v^{-1})^\prime = u^\prime \cdot v^{-1} - {\frac{u}{v^2} = \frac{u^\prime v - u v^\prime}{v^2}[/tex]

Q.E.D.

Så kan jeg vise potensregelen for -1, for at beviset over skal holde:

[tex](x^{-1})^\prime = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \frac{(x + \Delta x)^{-1} - x^{-1}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \frac{1}{\Delta x ( x + \Delta x)} - \frac{1}{\Delta x(x)}[/tex]

[tex] = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \frac{x}{x (\Delta x) ( x + \Delta x)} - \frac{x + \Delta x}{x (\Delta x)(x)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \frac{-1 \cdot \not \Delta \not x}{x \not (\not \Delta \not x\not ) ( x + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ -\frac{1}{x^2}[/tex]


Dessuten fikk jeg bevist potensregelen for alle naturlige tall ved hjelp av induksjon, produktregelen og definisjonen:

(1) Påstanden P(n): [tex](x^n)^\prime = nx^{n-1}[/tex]

(2) Av definisjonen har vi [tex]x^\prime = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\ \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1[/tex]

(3) P(1) stemmer: [tex](x^1)^\prime = x^\prime = 1x^0 = 1[/tex]

(4) Gitt at P(n) stemmer, da stemmer også P(m) der m = n+1, fordi

[tex](x^{n+1})^\prime = (x \cdot x^n)\prime = 1 \cdot x^n + x \cdot nx^{n-1} = x^n + nx^n = (n+1)x^n = mx^{m-1}[/tex]

(5) Når P(1) stemmer, har vi av (4) at P(2) også stemmer. Da må P(3) stemme, og dermed P(4), og P(5), osv. osv. for alle naturlige tall.

Q.E.D.

[Magnus]

Bra arbeid det der. Riktignok er det meste rett fram, men det der beviset for potenser har jeg ikke sett før. Klarer du å gjøre det for [tex]x\in\mathbb C[/tex] ?

[sEirik]

Takk - har ikke lært om komplekse tall ennå (går fortsatt 2MX) så det får jeg ta senere.

[Magnus]

Tja, [tex]x\in\mathbb R[/tex] ?