Funksjoner

[Tookus]

hei, jeg trenger hjelp med et matte stykke. skjønner ikke hvordan jeg skal regne det ut, jeg skal finne bunn- og toppunkt!
kan noen vise og forklare meg trinn for trinn hva som skal gjøres?

mattestykket:

f'(x)=2e^2x-4e^x

[SveinR]

Hei!

Du har altså fått oppgitt uttrykket til den deriverte, $f'(x)=2e^{2x}-4e^x$

Vi vet at topp- og bunnpunkter finnes der den deriverte er lik $0$, og skifter fortegn. Vi må altså løse $f'(x) = 0$. Da kan det greieste være å faktorisere først, og ofte er det lurt å deretter lage fortegnslinjer for faktorene. Faktorisert får vi at
$f'(x)=2e^{2x}-4e^x = 2e^x(e^x - 2)$

Klarer du å komme videre da?

[Mattebruker]

Funksjonen f ( x ) = antiderivert ( f' ( x ) ) = e^( 2x ) - 4e^x + C

Forteiknlinja til f'( x ) syner at moderfunksjonen( f ) har eit globalt minimum når e^x - 2 = 0 impl. x = ln2.

f( ln 2) = e^( 2ln2 ) - 4e^ln2 + C = e^( ln2^2) - 4*2 + C = e^( ln4) - 8 + C = 4 - 8 + C = - 4 + C

For å bestemme konstantleddet C må vi kjenne eitt punkt på grafen til f , eks. skj.pkt. med andreaksen ( 0, f( 0 ) )
Sett at grafen til f går gjennom origo ( 0 , 0 ). Da får vi f( 0 ) = e^0 - 4 e^0 + C = 0 impl. 1 - 4* 1 + C = 0 impl. C = 3

Botnp. ( ln2 , f( ln2) ) = ( ln2 , - 4 + 3 ) = ( ln2 , - 1 )

Grafen til f er monotont minkende i intervallet < - inf, ln2] , og monotont veksande i [ ln2 , inf > . Funksjonen f har m.a.o. ingen toppunkt .
Ut frå funksjonsuttrykket f( x ) ser vi vidare at grafen til f nærmar seg den rette linja y = C = 3 når x går mot - inf