Jeg øver til eksamen og sliter med denne oppgaven:
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1
Spørsmål:
Hvordan finner man f'(x)?
Hvordan bruker man den deriverte til å finne maksimums- og minimumspunkter?
Hadde satt stor pris på en forklaring som er lett å forstå!
Hjelp med derivasjon og ekstremalpunkter
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
stalegjelsten
- Noether
- Posts: 21
- Joined: 07/02-2018 15:36
Her har funksjonen [tex]f(x)[/tex] en derivert funksjon [tex]f'(x)[/tex] som vi kan finne ved å bruke den «vanligste» regneregelen ved derivasjon.
Først ser vi at [tex]f(x)[/tex] består av flere ulike ledd, der [tex]x^3[/tex] er det første leddet, [tex] 6x^2[/tex] er det andre leddet og så videre. Vi har lov til å derivere «ledd for ledd», vi kan altså se på hva som skjer med [tex]x^3[/tex] først.
Når vi deriverer uttrykk som [tex]x^3[/tex] tar vi eksponenten 3 og setter foran uttrykket. Deretter trekker vi 1 fra eksponenten. Vi får altså [tex]3 \cdot x^{3-1}[/tex].
Du kan bruke samme regel på alle leddene bortover. Dersom leddet bare er et tall, så blir den deriverte til leddet null ([tex](\text{tall})' = 0[/tex]).
Jeg lar deg prøve deg fram med resten av derivasjonen.
For å finne ekstremalpunkter så må vi vite 2 ting:
1. Den deriverte er en slags vekstfartfunksjon som gir oss vekstfarten til [tex]f(x)[/tex] i et hvilket som helst punkt [tex]x[/tex]. Dette betyr at den deriverte til [tex]f(x)[/tex] er lik stigningstallet til tangenten til [tex]f(x)[/tex] i punktet.
2. I et ekstremalpunkt så verken stiger eller synker funksjonen, altså er vekstfarten null.
Siden vekstfarten skal være null i et ekstremalpunkt så må du egentlig bare løse likningen
[tex]f'(x)=0[/tex]
Det gjør du ved å sette inn uttrykket ditt for den deriverte på venstre side og gjøre vanlig likningsløsning. Deretter må du undersøke om du har funnet toppunkter, bunnpunkter eller eventuelt terrassepunkter. Dette kan du gjøre ved å tegne fortegnslinje (vanlig i 1T), eller du kan sjekke hva som skjer med funksjonen når du går veldig nærme der ekstremalpunktet ditt ligger.
Først ser vi at [tex]f(x)[/tex] består av flere ulike ledd, der [tex]x^3[/tex] er det første leddet, [tex] 6x^2[/tex] er det andre leddet og så videre. Vi har lov til å derivere «ledd for ledd», vi kan altså se på hva som skjer med [tex]x^3[/tex] først.
Når vi deriverer uttrykk som [tex]x^3[/tex] tar vi eksponenten 3 og setter foran uttrykket. Deretter trekker vi 1 fra eksponenten. Vi får altså [tex]3 \cdot x^{3-1}[/tex].
Du kan bruke samme regel på alle leddene bortover. Dersom leddet bare er et tall, så blir den deriverte til leddet null ([tex](\text{tall})' = 0[/tex]).
Jeg lar deg prøve deg fram med resten av derivasjonen.
For å finne ekstremalpunkter så må vi vite 2 ting:
1. Den deriverte er en slags vekstfartfunksjon som gir oss vekstfarten til [tex]f(x)[/tex] i et hvilket som helst punkt [tex]x[/tex]. Dette betyr at den deriverte til [tex]f(x)[/tex] er lik stigningstallet til tangenten til [tex]f(x)[/tex] i punktet.
2. I et ekstremalpunkt så verken stiger eller synker funksjonen, altså er vekstfarten null.
Siden vekstfarten skal være null i et ekstremalpunkt så må du egentlig bare løse likningen
[tex]f'(x)=0[/tex]
Det gjør du ved å sette inn uttrykket ditt for den deriverte på venstre side og gjøre vanlig likningsløsning. Deretter må du undersøke om du har funnet toppunkter, bunnpunkter eller eventuelt terrassepunkter. Dette kan du gjøre ved å tegne fortegnslinje (vanlig i 1T), eller du kan sjekke hva som skjer med funksjonen når du går veldig nærme der ekstremalpunktet ditt ligger.