Sannsynlighet for å fullføre fotballkortsamlinga

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6590
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Da jeg var yngre, så samla jeg fotballkort fra Premier League-sesongen 96/97. En komplett samling består av

- 160 alminnelige spillerkort
- 1 kort som avbilder sesongens trofé
- 20 lag-emblem, et for hvert lag som deltok i sesongen
- 15 Masters of the Game-kort, én for hver spiller som fortjente ekstra oppmerksomhet for sin innsats den sesongen

Jeg fant samlinga mi mens jeg flytta i november, men jeg manglet til sammen 25 kort. På eBay selges kortene, men flesteparten av kortene jeg mangla var av de to siste kategoriene, og kosta mer enn jeg hadde lyst til å bruke.

Jeg husket tilbake til da vi kunne dra på bensinstasjonen og kjøpe pakker med kort. Hver pakke kostet 25 kroner og hadde 15 tilfeldige kort.

a) Hvis jeg hadde dratt og kjøpt så mange pakker jeg hadde råd til, hvor mange pakker måtte jeg kjøpt for å ha en 90% sannsynlighet for å fullføre samlinga? Det vil si, å få alle de 25 kortene jeg mangla?

b) Hvis jeg hadde mangla bare ett kort, hvor mange pakker måtte jeg kjøpt for å ha en 90% sjanse for å få det jeg trengte?

c) Hvis jeg ikke hadde noen kort, hvor mange pakker måtte jeg kjøpt for å ha en 90% sjanse for å få komplett samling?

Anta for oppgaven at hvert kort har like stor sannsynlighet for å dukke opp i en pakke. Dette var ikke faktisk tilfellet, men kanskje det ligger en d-oppgave på horisonten.
Bilde
jos
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 152
Registrert: 04/06-2019 12:01

Følgende løsning er basert på et eksempel i Erling Sverdrups lærebok Lov og tilfeldighet fra 1963.

Det er altså 160 + 1 + 20 + 15 = 196 ulike kort som vi kan nummerere fra 1 til 196. Alle kortene antas forekomme like hyppig i bunkene på 25, og det antas være så mange av dem at antall kjøpte kort ikke influerer på sannsynligheten for forekomsten i bunkene. La K være hendelsen at en samling kort er komplett, dvs. alle de ulike 196 kortene forekommer i samlingen. $\overline K$ betegner at en samling kort ikke er komplett. Den kan være akomplett på 196 måter ved at den mangler $kort_1$ eller $\,kort_2$ .... eller$\, kort_{196}$. Da får vi.

$\overline K = F_1\cup F_2\cup\cdot\,\cdot\,\cup \, F_{196}$ hvor $F_j$ betegner at samlingen mangler $kort_j$.

Vi finner sannsynligheten for at samlingen ikke er komplett, $P(\overline K)$, ved den generaliserte addisjonssetningen.

$P(F_1 \cup F_2 \cup \,\cdot\,\cdot\,\cup F_{196}) = \Sigma_{j = 1}^{196}P(F_j) - \Sigma_{i<j}P(F_i\cap F_j) + \Sigma_{i<j<k}P(F_i \cap F_j \cap F_k) - \cdot\,\cdot\,+ (-1)^{196-1}\,P(F_1\cap F_2\,\cap\,\cdot\cdot\cdot\cap F_{196})$

Her består den første summen av $\binom{196}{1}$ ledd, den andre summen av $\binom{196}{2}$ og den m-te summen består av $\binom{196}{m}$ ledd.

Sannsynligheten for det enkelte ledd i f.eks den tredje summmen kan bestemmes som følger.

Hvert ledd i summen $\Sigma_{i<j<k}P(F_i\cap F_j\cap F_k)$ vil ha den samme sannsynlighet
$ = (\frac{196 - 3}{196})^k = (1 - \frac{3}{196})^k$ hvor k er antall kjøpte kort, og det finnes $ \binom{196}{3}$ slike ledd. Sjansene for at ett kjøp skal gi et kort som er forskjellig fra $kort_i,\, kort_j\, og\, kort_k = \frac{196-3}{196} = 1 - \frac{3}{196}$. Sjansene for at k kjøp alle skal gi kort som er slik forskjellig er $(1 - \frac{3}{196})^k$.

Generelt og mer kompakt får vi altså:

$P(\overline K) = \Sigma_{x = 1}^{196} (-1)^{x - 1}\binom{196}{x}(1- \frac{x}{196})^k$

Ved å sette $P(\overline K)$ til $1 -0.9 = 0.1$ kan vi prøve oss frem med ulike k-verdier. Det viser seg at
kjøp av 1470 kort gir 10.11%sjanse for en ukomplett samling, og kjøp av 1490 kort gir 9.17 % sjanse for det samme. Det innebærer at 59 bunker gir 59 * 25 = 1475 kjøp, som gir en 90% sjanse for en komplett samling. Vi finner svarene for 25 manglende kort og ett manglende kort ved å endre 196 til henholdsvis 25 og 1 i formelen ovenfor.
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6590
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Bra gjort!

Jeg kom ikke engang i mål med min egen oppgave :lol:
Bilde
Svar