Tetraeder, plan og skalarprodukt

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Tetraeder, plan og skalarprodukt

Innlegg vidaas » 17/04-2021 09:38

Hei, jeg sliter veldig med ei oppgave. Den er som følger:
Et tetraeder ABCD er gitt ved A(2,2,0), B(2,-2,0), C(4,0,4) og et punkt D.
D er bestemt ved at AD står vinkelrett på BD, AD står vinkelrett på CD, og BD står vinkelrett på CD. Finn koordinatene til D.

Jeg har kalt D=(X,Y,Z) og forsøkt å utnytte at skalarproduktet mellom vektorene som står vinkelrett på hverandre er lik 0. Ganske tidlig ender det opp med uttrykk med X, Y og Z som ser helt forferdelige ut. Jeg har forsøkt å tenke at f.eks. CD er parallell med normalvektoren til planet gjennom ABD osv, men også her ender jeg opp med forferdelige utrykk med X, Y og Z.

(i oppgave b, skal vi finne planet gjennom A, B og C og det klarer jeg fint, men da tolker jeg at vi må finne punktet D uten å gå veien om å finne planet gjennom A, B og C først).

Håper noen kan hjelpe meg med denne oppgaven.
vidaas offline
Noether
Noether
Innlegg: 29
Registrert: 30/03-2020 18:16

Re: Tetraeder, plan og skalarprodukt

Innlegg LektorNilsen » 19/04-2021 08:30

vidaas skrev:Hei, jeg sliter veldig med ei oppgave. Den er som følger:
Et tetraeder ABCD er gitt ved A(2,2,0), B(2,-2,0), C(4,0,4) og et punkt D.
D er bestemt ved at AD står vinkelrett på BD, AD står vinkelrett på CD, og BD står vinkelrett på CD. Finn koordinatene til D.

Jeg har kalt D=(X,Y,Z) og forsøkt å utnytte at skalarproduktet mellom vektorene som står vinkelrett på hverandre er lik 0. Ganske tidlig ender det opp med uttrykk med X, Y og Z som ser helt forferdelige ut. Jeg har forsøkt å tenke at f.eks. CD er parallell med normalvektoren til planet gjennom ABD osv, men også her ender jeg opp med forferdelige utrykk med X, Y og Z.

(i oppgave b, skal vi finne planet gjennom A, B og C og det klarer jeg fint, men da tolker jeg at vi må finne punktet D uten å gå veien om å finne planet gjennom A, B og C først).

Håper noen kan hjelpe meg med denne oppgaven.


Jeg fulgte din strategi, med å sette opp tre ulike skalarprodukt som skal være lik 0. Da får jeg tre likninger med tre ukjente. I følge mine beregninger fikk jeg da x=2,y=0 og z=2 eller z=-2. Det gir to muligheter for punktet D (på hver sin "side" av planet gjennom A, B og C).
Likningene er rimelig greie å løse ved eliminasjon, men innsettingsmetoden kan fort gi det du kaller "forferdelige" uttrykk ;)
LektorNilsen offline
Jacobi
Jacobi
Innlegg: 321
Registrert: 02/06-2015 14:59

Re: Tetraeder, plan og skalarprodukt

Innlegg vidaas » 19/04-2021 09:55

Hei og takk.

Jeg brukte nok innsettingsmetoden og når jeg ut fra de 3 skalaroppsettingene endte opp med andregradsuttrykk av både x, y og z, ble det ikke så pene uttrykk.

Jeg er helt med på at D skal ha to løsninger, et på hver sin side av planet gjennom ABC, men fasiten sier at svarene skal være: D= (4,0,0) eller D=(4/5,0,8/5). Jeg skulle gjerne ha sett utregningene her slik at jeg forstår hvor jeg gjør feil.
vidaas offline
Noether
Noether
Innlegg: 29
Registrert: 30/03-2020 18:16

Re: Tetraeder, plan og skalarprodukt

Innlegg vidaas » 19/04-2021 11:36

Da har jeg regnet på nytt (med tunga litt mer rett i munnen) og brukt eliminasjonsmetoden istedet for innsettingsmetoden. Da ble uttrykkene straks enklere og jeg fikk også riktig svar ifht fasit. D=(4,0,0) eller D=(4/5,0,8/5).

Takk for innspill om eliminasjonsmetoden ;)
vidaas offline
Noether
Noether
Innlegg: 29
Registrert: 30/03-2020 18:16

Re: Tetraeder, plan og skalarprodukt

Innlegg LektorNilsen » 19/04-2021 13:49

vidaas skrev:Da har jeg regnet på nytt (med tunga litt mer rett i munnen) og brukt eliminasjonsmetoden istedet for innsettingsmetoden. Da ble uttrykkene straks enklere og jeg fikk også riktig svar ifht fasit. D=(4,0,0) eller D=(4/5,0,8/5).

Takk for innspill om eliminasjonsmetoden ;)


Så fint at du kom riktig i mål :D
Har sikkert bare gått litt fort i svingene når jeg kludret ned et forsøk på utregning ;)
LektorNilsen offline
Jacobi
Jacobi
Innlegg: 321
Registrert: 02/06-2015 14:59

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 25 gjester