følgjer og rekkjer

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
dahle-g
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 02/05-2017 00:17

Hei! har ei oppgåve eg treng hjelp til.

Oppgåve 6.84 Sigma R2 2015
Frå eit kjernekraftverk får vi radioaktivt avfall av ein gitt radioaktiv isotop.
5 % av denne isotopen blir broten ned kvart år.
Ein masse m av isotopen blir då etter x år redusert til m · 〖0,95〗^x.

a) Kva blir isotopen redusert til på 15 år når m = 4,0 kg?
b) Finn halveringstida for isotopen,
det vil seie tida det tek tida det tek opphavelege massen
er redusert til det halve.

c) Vi går ut frå at kjernekraftverket i slutten av kvart år gir 4,0 kg
nytt radioaktivt avfall av denne isotopen.
Forklar at den totale massen etter tjue år, F_20 kg, då er gitt som

F_20 = 4,0 · (1+0,95+ 〖0,95〗^2 + ...+ 〖0,95〗^19 )

d) Vis at vi også kan skrive

F_20 = 80 · (1- 〖0,95〗^20 )

Rekn ut F_20.

e) Kva skjer med den totale massen av denne isotopen etter kvart som tida går?
Grunngi svaret.

Har prøvd å løyse oppgåva, sjå nedanfor.

Det er del spørsmål c), d) og e) som er problemet.
Korleis skal dei løysast og kva må vere med for at svaret skal bli godkjent.

Kan noko hjelpe meg her?

a) Kva blir isotopen redusert til på 15 år når m = 4,0 kg?

4,0 · 〖0,95〗^15 ≈ 1,85

Isotopen blir redusert med ca 1,85 kg etter 15 år.

b) Finn halveringstida for isotopen,
det vil seie tida det tek tida det tek opphavelege massen er redusert til det halve.

4,0 · 〖0,95〗^x = 2,0
〖0,95〗^x = 2,0/4,0
x · ln 0,95 = ln 1/2
x = ln⁡0,5/ln⁡0,95
x ≈ 13,5

Halveringstida for isotopen er ca 13,5 år.

c) Vi går ut frå at kjernekraftverket i slutten av kvart år gir 4,0 kg
nytt radioaktivt avfall av denne isotopen.
Forklar at den totale massen etter tjue år, F_20 kg, då er gitt som

F_20 = 4,0 · (1+0,95+ 〖0,95〗^2 + ...+ 〖0,95〗^19 )

a_1 = 4,0 og k = 0,95

a_2 = a_1 · k^(n -1) = 4,0 · 〖0.95〗^(2 -1) = 4,0 · 〖0.95〗^1
a_3 = a_1 · k^(n -1) = 4,0 · 〖0.95〗^(3 -1) = 4,0 · 〖0.95〗^2
.
.
a_20 = a_1 · k^(n -1) = 4,0 · 〖0.95〗^(20 -1) = 4,0 · 〖0.95〗^19

a_n = a_1 · k^(n -1)

F_20 = 4,0 · 1 + 4,0 · 0,95 + 4,0 · 〖0,95〗^2 + . . . + 4,0 · 〖0,95〗^19

F_20 = 4,0 · (1+0,95+ 〖0,95〗^2 + ...+ 〖0,95〗^19 )

d) Vis at vi også kan skrive

F_20 = 80 · (1- 〖0,95〗^20 )

F_20 = 4,0 ·20 · (1- 〖0,95〗^20 )

F_n = a_1 · n · (1-k^n )

Rekn ut F_20.

F_20 = 80 · (1- 〖0,95〗^20 ) =≈ 51,3

s_20 = a_1· (k^n - 1)/(k - 1) = 4,0 · (〖0,95〗^20 - 1)/(0,95 - 1) ≈ 51.3

e) Kva skjer med den totale massen av denne isotopen etter kvart som tida går?
Grunngi svaret.

lim┬(n→∞)⁡〖1-k^n 〗= 1 – 0 = 1 ⇒ nærmar seg 80 kg
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8388
Registrert: 21/08-2006 02:46
Sted: Grenland

Har ikke sett nøye på de andre, men svarene virker fornuftig.
På e) kan du bruke konvergent geometrisk rekke:

La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

dahle-g
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 02/05-2017 00:17

Takk
Er likevel usikker på dette?
Når det står Grunngi svaret, sjå nedanafor

e) Kva skjer med den totale massen av denne isotopen etter kvart som tida går?
Grunngi svaret.

Når det står grunngi svaret er det då nok å bruke at:

Vi har ei uendeleg geometrisk rekkje:

a_1 + a_1 · k + a_1 · k^2 + …

a_1 = 4 og k = 0,95

Ettersom – 1 < k < 1, konvergerer rekkja med summen

s = a_1/(1 - k) = 4/(1 - 0,95) = 80
dahle-g
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 02/05-2017 00:17

Korleis kan eg vise dette

d) Vis at vi også kan skrive

F_20 = 80 · (1- 〖0,95〗^20 )
Svar