Hvordan, og i hvilken sammenheng lærte dere om Laplace?

Det er god trening å prate matematikk. Her er det fritt fram for alle. Obs: Ikke spør om hjelp til oppgaver i dette underforumet.

Hvordan, og i hvilken sammenheng lærte dere om Laplace?

Innlegg Aleks855 » 05/11-2020 21:48

Kanskje et litt rart spørsmål, men en ting jeg har bitt meg merke i når jeg ser på hvordan Laplace utforskes i over et dusin forskjellige lærebøker, er at man med en gang lærer formelen, man gjennomgår noen eksempler (alltid $f(t) = 1$ og $f(t) = e^{at}$), og deretter lærer man litt regneteknikk (hovedsaklig utnytting av integralets lineære natur), og får se en tabell med ferdig utregnede transformasjoner.

Jeg kan til en viss grad tilgi det hvis jeg merker at leseren forventes å ha kjennskap til Fouriertransformasjoner, og Laplace undervises som en utvidelse av dette konseptet. Men i de fleste verkene jeg har brukt, så undervises Laplace først, eksempelvis i denne boka som brukes (eller ble brukt) i TMA4135 på NTNU:

Bilde

(Merk hvordan Laplace dukker opp i kap. 6, og Fourier senere.)

Jeg har enda ikke sett et læreverk som beskriver motivasjonen bak Laplace (eller for den saks skyld Fourier) transformasjoner på en slik måte at man går inn i det med litt mål og mening. I hvert eneste tilfelle, så er det bare en regneteknikk man lærer å få vite hvorfor dette er relevant, eller hvor $e^{-st}$ kommer fra. Man får vite at dette er en mystisk måte å konvertere kalkulus til algebra, og that's it.

Er det noen av dere som hadde mer positive erfaringer med Laplace og/eller Fourier? Kanskje ved å få presentert en problemstilling på forhånd som man ønsker å løse, og deretter introdusere teknikken som løser det?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6530
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Hvordan, og i hvilken sammenheng lærte dere om Laplace?

Innlegg Emilga » 05/11-2020 22:41

Se første del av denne MIT opencourseware-forelesningen for motivasjonen bak Laplace-transform.

Jeg hadde for øvrig samme intro som deg med Crazy-G, og følte også at Laplace-transform var utilstrekkelig motivert.
Emilga offline
Riemann
Riemann
Innlegg: 1536
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: Hvordan, og i hvilken sammenheng lærte dere om Laplace?

Innlegg Nebuchadnezzar » 05/11-2020 22:45

Jeg lærte om Laplace først i 4K om jeg husker riktig, altså formalismen. Inntrykket mitt om hvorfor det undervises slik er nok kanskje en kombinasjon av uheldige faktorer som manglende forkunnskaper, fysikkforståelse og regneferdigheter. F.eks kan jo ikke studentene kompleks analyse så 90% av fourier integralene kan jo ikke de regne ut, eller forstå hva betyr.

Ellers har lært om det skikkelig i faget med det passende navnet TMA4170 - Fourieranalyse, ellers ble jo teknikkene nevnt i instrumentering (husker ikke fagkoden på stående fot), og helt sikkert i signalbehandling uten at jeg tok det faget.

Problemet er jo at om du skal undervise det skikkelig, så trenger du ganske god fysikkforståelse, og det er det langt i fra alle som tar 4K som har på det tidspunktet.Ei heller har de kunnskapene som skal til for å forstå dette med ortonormale basier, også videre selv om jeg såvidt husker at vi gikk igjennom hvorfor. Det å implementere fouriertransformasjonen med koding er og noe keitete, men selvsagt ikke umulig.

Ellers har jo ikke studentene forkunnskapene som skal til for å forstå fouriertransformasjonen fra ett matematisk perspektiv. Hvorfor en f.eks kan ta fouriertransformasjonen av 1 gir jo i utgangspunktet ikke mening da integralet ikke er definert. Men igjen handler jo dette om distribusjonsteori og dette her med Schwartz rom og sånt som en lærer mer om i fouriertransformasjonsfaget. Men det er ganske ufin teori

https://math.mit.edu/~rbm/iml/Chapter1.pdf <- her er en kort intro, men igjen så blir dette ufint å gi til studenter som sliter med delvis integrasjon.

"Emnet skal gi studentene en grundig innføring i analytiske og anvendte metoder innen Fourieranalysen. Temaer som behandles: Fourierrekker; innføring i distribusjonsteorien eller Lebesgueintegralet og teorien for Hilbertrom; Fourierintegralet; konvolusjon; diskret Fouriertransform; hurtig Fouriertransform; signalbehandling og filterteori; anvendelser i matematikk eller teknologi, som f.eks. bildebehandling."

4k sliter jo og med at det er en bag of all tricks. Prøver å gjøre mye forskjellig. Siden kompleks undervises sent, så må laplace undervises tidlig. Vi som gikk matte har jo lenge "spøkt" med at 4k kan og burde droppes helt. I stedet kjør på med kompleks analyse faget og fourieranalyse faget. Det blir en del tøffere, men du går ikke BMAT om du ikke liker å ha det kjipt og hardt.

Angående Laplace har jeg ikke så sterke meninger, men tipper det er noe av samme grunnen lite tid når det undervises. Undervises fordi de trenger teknikkene ikke forståelsen (men dette er jo totalt usant ift laplace :p)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5643
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: Hvordan, og i hvilken sammenheng lærte dere om Laplace?

Innlegg Aleks855 » 05/11-2020 23:12

Slik jeg har oppdaget at bøkene prøver å forklare motivasjonen for Laplace hittil, så er det todelt.

På den ene sida så bruker vi Laplace for å redusere differensiallikninger til alminnelige, algebraiske likninger. Det hadde i seg selv vært tilstrekkelig motivasjon for min del.

I tillegg (og det er her min ekspertise om signalprosessering faller kort, så korriger meg om jeg tar feil) så kan vi se på Laplace-transform som en utvidelse av Fourier-transformen. Der vi bruker Fourier for å dekomponere et signal til sine sinusoidale komponentfunksjoner, kan vi bruker Laplace til å gjøre det samme, men for funksjoner som eventuelt også har eksponentialkomponenter. Det, hvis jeg har formulert det riktig, er også en fullverdig motivasjon, dog ikke en jeg er kompetent nok til å utforske noe særlig uten først å ha lært mer om signalprosessering generelt.

Nebuchadnezzar skrev:https://math.mit.edu/~rbm/iml/Chapter1.pdf <- her er en kort intro, men igjen så blir dette ufint å gi til studenter som sliter med delvis integrasjon.


Jeg ville sannsynligvis vært tidlig ute med å si at grunnleggende regneteknikk for integraler, derunder delvis, er forventet av studenten som føler seg klar for Laplace, eller hva?

Emilga skrev:Se første del av denne MIT opencourseware-forelesningen for motivasjonen bak Laplace-transform.

Jeg hadde for øvrig samme intro som deg med Crazy-G, og følte også at Laplace-transform var utilstrekkelig motivert.


Takk! Jeg skal definitivt se den videoen. Men før jeg gjør det, har du en kjapp TLDR? Er det difflikninger som brukes som motivasjon?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6530
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Hvordan, og i hvilken sammenheng lærte dere om Laplace?

Innlegg Emilga » 05/11-2020 23:23

Aleks855 skrev:Takk! Jeg skal definitivt se den videoen. Men før jeg gjør det, har du en kjapp TLDR? Er det difflikninger som brukes som motivasjon?


Motivasjonen i videoen er å summere potensrekker: $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = A(x)$. Så går du fra diskret til kontinuerlig, som da gir deg et integral. Og så skifter du litt navn på variablene.
Emilga offline
Riemann
Riemann
Innlegg: 1536
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: Hvordan, og i hvilken sammenheng lærte dere om Laplace?

Innlegg Aleks855 » 05/11-2020 23:42

Emilga skrev:
Aleks855 skrev:Takk! Jeg skal definitivt se den videoen. Men før jeg gjør det, har du en kjapp TLDR? Er det difflikninger som brukes som motivasjon?


Motivasjonen i videoen er å summere potensrekker: $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = A(x)$. Så går du fra diskret til kontinuerlig, som da gir deg et integral. Og så skifter du litt navn på variablene.


Brukes noe av dette til å forklare hvorfor vi i Laplace-integralet multipliserer med $e^{-st}$?

Det tror jeg var noe av det mest obskure hittil. Den eneste halvgode forklaringa jeg har sett på dette hittil er at multiplisering med denne kjernen (kernel) gjør at formelen for $\mathcal L(f')$ blir så enkel som den blir.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6530
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Hvordan, og i hvilken sammenheng lærte dere om Laplace?

Innlegg Emilga » 06/11-2020 19:31

Aleks855 skrev:Brukes noe av dette til å forklare hvorfor vi i Laplace-integralet multipliserer med $e^{-st}$?


Tittet du på videoen? Det er bare de 10 første minuttene som er relevant. Kort sagt vil $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \longrightarrow \int_0^\infty a(t) x^t dt = \int_0^\infty a(t)e^{\ln(x) \cdot t} dt = \int_0^\infty a(t) e^{-st} dt$. Første overgang kommer av at vi ønsker å studere den kontinuerlige versjonen av summen av en potensrekke. Siste overgang kommer ved å sette $s := - \ln x$. Den diskrete potensrekken konvergerer kun for $|x|< 1$, som i Laplace-transformen gir oss $s > 0$. Altså kan vi se på Laplacetransformen som den kontinuerlige versjonen av summen av en potensrekke.


Aleks855 skrev:Det tror jeg var noe av det mest obskure hittil. Den eneste halvgode forklaringa jeg har sett på dette hittil er at multiplisering med denne kjernen (kernel) gjør at formelen for $\mathcal L(f')$ blir så enkel som den blir.


Husk at du har multiplisert med "e opphøyd i noe" før, nemlig når du løser førsteordens kvasi-lineære ODEer ved bruk av integrerende faktor.

F.eks. $y^\prime + 2x y = 3x$, med $y(0) =1$.

Vi ønsker nå å multiplisere likningen med $e^{\int 2x \,dx} = e^{x^2}$. Hvorfor? Fordi det tillater oss å bruke produktregelen for derivasjon baklengs, slik at vi kan integrere bort den deriverte av $y$.

$$ \left( e^{x^2} y \right)^\prime = 3xe^{x^2}$$

Dersom vi nå integrerer med hensyn på $x$ fra $0$ til $x_*$, får vi løst for $y$ direkte:

$$e^{x_*^2}y(x_*) - y(0) = 3 \int_0^{x_*} xe^{x^2} dx.$$

Det er da naturlig å la seg inspirere av denne løsningsmetoden, også for n-teordens ODEer med konstante koeffisienter.

Problemet vårt nå er bare at vi ikke kan bruke produktregelen for derivasjon baklengs, siden vi "mangler" de matchende leddene som tillater oss å skrive venstresiden som den totalderiverte av et produkt.

Men vi kan fortsatt bruke delvis integrasjon. (Delvis integrasjon er jo bare det du får når du integrerer produktregelen.) Og én måte å tenke på delvis integrasjon på, er at den tillater oss å flytte den deriverte fra den første faktoren til den andre faktoren i integralet av et produkt.

Altså kan vi kvitte oss med de deriverte på y-ene, dersom vi flytter dem over til hjelpefunksjonen vår g(t) (som vi ganget difflikningen vår med i utgangspunktet) og samtidig evaluerer den antideriverte i endepunktene til integralet.

Vi har nå to valg: 1) hvilken funksjon skal vi gange difflikningen vår med, slik at vi kan bruke delvis integrasjon? Og 2) Hva skal grensene våre være når vi integrerer?

Svaret på 1) er at det enkleste valget er å gange med $e^{\alpha t}$, siden vi kan flytte arbitrært mange deriverte over fra $y$ til $e^{\alpha t}$ uten at sistnevnte forsvinner. (Dvs. at ved å gange med $e^{\alpha t}$ kan vi bruke delvis integrasjon så mange ganger vi vil.)

På 2) er svaret at vi vil integrere fra initialtidspunktet, der vi har kjente verdier av $y$, $y^\prime$, osv., slik at vi kan evaluere dem. Men hva bør øvre grense være? Dersom vi lar øvre grense være et eller annet endelig tidspunkt $t_1 < \infty$, så ender vi opp med en likning som er avhengig av funksjonsverdiene til $y$ i et tidspunkt der disse er ukjente. Ikke bra! Altså vil vi velge øvre grense til å være uendelig, og samtidig velge $\alpha < 0$ (slik at integralene våre konvergerer), slik at $e^{\alpha t}$ "vinner over" $y$, og nulles ut.

Vi ender dessverre ikke opp med en løsning for $y(t)$ direkte, slik som vi gjør med integrerende faktor, men vi ender opp med å løse for $\int_0^\infty y(t)e^{-st}dt$, aka den Laplacetransformerte av $y$. Heldigvis har denne transformasjonen den pene egenskapen at den er invertibel, slik at vi kan finne $y$ ved å slå opp i en tabell.
Emilga offline
Riemann
Riemann
Innlegg: 1536
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: Hvordan, og i hvilken sammenheng lærte dere om Laplace?

Innlegg Aleks855 » 08/11-2020 19:26

Tittet du på videoen? Det er bare de 10 første minuttene som er relevant


Beklager treghet. Jeg har flytta inn i ny leilighet i helga. Men nå har jeg endelig fått sett de 10-12 første minuttene av videoen. Det var en ENORM forbedring av alt jeg har sett hittil. Jeg tenker da på overgangen mellom diskrete potensrekker, til den kontinuerlige analogen. Jeg skal fortsette å se videoen, eventuelt serien og håpe at jeg ikke oppdager andre hull i kunnskapen underveis.

Din egen oppskriving av motivasjonen bak $e^{-st}$ er i seg selv også Wiki-verdig. Har matematikk.net et Wiki-innslag for Laplace tro?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6530
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 11 gjester