Newton–Raphson

[Gjest123 offline]

Jeg sliter litt med en oppgave:

Bruk Newton-Raphsons metode for å finne tilnærminger til begge løsningene av ligningen:
f(x) = 3x^2 + 4x − 4
Bruk en feiltoleranse på E = 10^−12. Utforsk hvordan valget av initialverdi x0 påvirker
hvilken av løsningene algoritmen konvergerer mot.

Håper noen her klarer å hjelpe meg

[SveinR]

Nøyaktig hva er det du lurer på her? Er det å tolke hva oppgaven spør om, eller lurer du på hva Newton-Raphson metoden er, eller rett og slett hvordan du kan programmere den? For jeg antar det er meningen å programmere algoritmen her.

[Gjest123 offline]

Hvordan jeg kan programmere det

[SveinR]

Algoritmen sier at gitt et "løsningsgjett" $x_i$ for nullpunktet til en funksjon, så er neste iterasjon av løsningen gitt ved

$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$

Slik at for en initialverdi $x_0$ så blir neste løsningsverdi $x_1$ gitt ved

$x_{1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

og dette kan vi gjenta videre, så neste (forbedrede) løsningsverdi $x_2$ er gitt ved

$x_{2} = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$


Dette lar seg f.eks. programmere ved hjelp av en while-løkke, som løper helt til løsningsverdien blir god nok - som i ditt tilfelle er helt til "feilen" blir 1.0E-12. Nøyaktig hvordan du vil programmere dette kommer an på språket du bruker. Under er en pseudokode for hvordan man kan tenke:

Kode: Merk alt

x_0 = 1.0  #dette er en initialverdi som vi kan velge selv, det er gjerne vanlig å sette den til 1.0

løsning = x_0 #denne oppdaterer vi i løkken

while løsning IKKE god nok:
     ny_løsning = løsning - f(løsning)/f'(løsning) #dette er Newton-Raphson-formelen, litt omskrevet

     løsning = ny_løsning #her oppdaterer vi løsningen vår, og dette gjentas i hver iterasjon

print(løsning) #skriver ut den siste verdien vi fant, etter at vi har kommet ut av løkka

Du må her også tenke gjennom hvordan du kan finne verdien til den deriverte i programmet (hint: Bruk definisjonen til den deriverte).

[Nebuchadnezzar]

I python og lignende språk kan en og skrive direkte

Kode: Merk alt

 løsning  =  løsning - f(løsning)/f'(løsning)

Og den oppdateres korrekt.

[Aleks855]

I python og lignende språk kan en og skrive direkte

Kode: Merk alt

 løsning  =  løsning - f(løsning)/f'(løsning)

Og den oppdateres korrekt.

Vent, har Python en innebygd apostrof-funksjon som deriverer en arbitrær funksjon f?

[Nebuchadnezzar]

Kode: Merk alt

In [1]: from sympy import *
In [2]: import numpy as np
In [3]: x = Symbol('x')
In [4]: y = x**2 + 1
In [5]: yprime = y.diff(x)
In [6]: yprime
Out[6]: 2⋅x

In [7]: f = lambdify(x, yprime, 'numpy')
In [8]: f(np.ones(5))
Out[8]: [ 2.  2.  2.  2.  2.]

Ikke så langt unna.. Selv om jeg nok ville gjort det på måten under

Kode: Merk alt

def df(x, h=1e-5):
    return (f(x+h) - f(x))/h

Som selvsagt antar f er definert tidligere. om ikke innebygget, så kan jeg godta å bruke to linjer ekstra på å definere $df := f'$. Men får være nok "hint" nå