integral

[geil]

Hei!
Har ei oppgåve som eg ikkje kjem i mål med sjå nedanfor.
Oppgåve 4.35 Sigma R2 2015

Har løyst den som delbrøkoppspalting, men når eg skal rekne ut arealet til det bestemet integral frå 0 til 1
kjem eg ikkje i mål

c) Finn ved rekning arealet som er avgrensa av x-aksen, grafen og linja x = 1.

∫2x/(x^2 - 4) dx

Reknar først ut det ubestemte integralet
1 Faktoriser nemnaren:

x^2 - 4 = (x – 2)(x + 2)

2 Del opp i to brøkar:

2x/((x - 2)(x + 2)) = A/((x - 2)) + ( B)/((x + 2))

2x = (x + 2) A + (x – 2) B

x = - 2 ⇒ 2 · (- 2) = (- 2 + 2) A + (- 2 – 2) B ⇒ - 4 = - 4B ⇒ B = 1
x = 2 ⇒ 2 · 2 = (2 + 2) A + (2 – 2) B ⇒ 4 = 4A ⇒ A = 1

3 Fullfør integrasjonen:

∫2x/(x^2 - 4) dx = ∫2x/((x -2)(x + 2))
= ∫(1/((x - 2)) - ( 1)/((x + 2)) ) dx
= ∫(1/((x - 2))) dx – ∫(1/((x + 2))) dx
= ln ǀx - 2ǀ - ln ǀx+ 2ǀ

set inn i det bestemte integralet frå 0 til 1
∫_0^12x/(x^2 - 4) dx = [ln ǀx - 2ǀ] ■(1@0) - [ln ǀx + 2ǀ ] ■(1@0) - [[ln ǀx - 2ǀ] ■(1@0) - [ln ǀx + 2ǀ ] ■(1@0) ]
Her treng hjelp for å kome vidare

[Janhaa]

er vel lettere å bruke substitusjonen under:

[tex]I=\int _0^1\frac{2x\,dx}{x^2-4}\\ \\ u=x^2-4\\ du=2x\,dx\\ I=\int _{-4}^{-3}\frac{\,du}{u}\\[/tex]
osv...

[geil]

Korleis kjem ein fram til avgrensing av integralet frå - 4 til - 3
det forstår eg ikkje

[geil]

I fasiten står det
ln 4 - ln 3 = 0,2877

korleis kjen ein frå det ubestemte intgralet ln ǀx^2 – 4ǀ til ln 4 - ln 3 = 0,2877

∫▒(2x/(x^2 - 4)) dx = ∫▒〖(2x/u) · ( du)/2x〗 = ∫▒〖(1/u) · du〗 = ln ǀuǀ = ln ǀx^2 – 4ǀ

[Janhaa]

Korleis kjem ein fram til avgrensing av integralet frå - 4 til - 3
det forstår eg ikkje

[tex]x^2-4=u[/tex]
x=0 gir:
[tex]0-4=u=-4[/tex]
og
x=1 gir:
[tex]1^2-4=-3=u[/tex]
''''''''''''''''''''''
**********
ang arealet ender du opp med:

[tex]A=|\ln(3/4)|=\ln(4/3)[/tex]

[geil]

Hei!
Beklagen men eg står heilt bom fast.
Forstår alt til eg skal sette inn grenseverdiane.
Korleis gjer ein dette

c) Finn ved rekning arealet som er avgrensa av x-aksen, grafen og linja x = 1.

∫▒2x/(x^2 - 4) dx
u = x^2 – 4

x = 0 ⇒ u = 0 – 4 ⇒ u = - 4 og x = 1 ⇒ u = 12 – 4 = - 3

du/dx = 2x, gir du = 2x dx, dvs. dx = du/2x = du/2x

∫_0^1▒〖 2x/(x^2 - 4)〗 dx = 2∫_0^1▒2/(x^2 - 4) dx = 2∫_(- 4)^(- 3)▒x/u du/2x = 2∫_(- 4)^(- 3)▒1/2u du = 2·1/2 ∫_(- 4)^(- 3)▒1/u du = ∫_(- 4)^(- 3)▒1/u du = [ln ǀuǀ] ■(- 3@- 4)

[geil]

Hei!
Har fått summa meg litt no etter frustasjon tidlegare.
Eg trur eg har løyst den riktig no.
Nokon som kan bekrefte det?

Vi ser at f (x) < 0 frå x = 0 til x = 1. Vi får då

- [ln ǀuǀ] ■(- 3@- 4) = - (ln 3 – ln 4) = ln 4 - ln 3 = 0,2877

[Kay]

Hei!
Har fått summa meg litt no etter frustasjon tidlegare.
Eg trur eg har løyst den riktig no.
Nokon som kan bekrefte det?

Vi ser at f (x) < 0 frå x = 0 til x = 1. Vi får då

- [ln ǀuǀ] ■(- 3@- 4) = - (ln 3 – ln 4) = ln 4 - ln 3 = 0,2877

Det ser nesten riktig ut

Husk ved logaritmereglene at

$$\ln(b)-\ln(a)=\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$

Svaret skal være $$-\ln\left(\frac{4}{3}\right)$$

For å supplementere

[tex]\int_0^{1} \frac{2x}{x^2-4}dx=\int_{-4}^{-3} \frac{du}{u}=\left[\ln|u|\right]_{-4}^{-3}=\ln|-3|-\ln|-4|=\ln|3|-\ln|4|=\ln\left(\frac{3}{4} \right )=-\ln\left(\frac{4}{3} \right )[/tex]

Den siste likheten skyldes at [tex]\ln\left(\frac{b}{a} \right )=\ln(b)-\ln(a)=-\ln(a)+\ln(b)=-(\ln(a)-\ln(b))=-\ln\left(\frac{a}{b}\right)[/tex].

Nå skal det sies at det er unødvendig å gå videre fra $$\ln\left(\frac{3}{4}\right) $$, men det var mer for å illustrere hvordan de henger sammen.

[geil]

Tusen Takk
Dette var supert forklart.
No ser eg lyset i tunellen