Areal mellom kurver

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gjest

La D være området i høyre halvplan (dvs. x ≥ 0) begrenset av kurvene y = x, y = −x og x^2 + y^2 = 1.

Tegn D og finn arealet og tyngdepunktet.
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Nå har det seg slik at vi jobber med et forholdsvis enkelt område, så vi slipper å bruke integraler sånn eksplisitt. Det burde være ganske enkelt å observere at det du skal finne arealet av er en kvartsirkel. Ergo får du ganske enkelt arealet [tex]\textrm{Areal}(D)=\frac{1}{4} \pi r^2[/tex].


Når det gjelder tyngdepunktet er det litt styggere å finne, men la gå;

Tyngdepunktet er gitt ved

$(\bar{x}, \bar{y})=\left(\frac{1}{A}\int_a^bx(f(x)-g(x))dx, \frac{1}{A}\int_a^b \frac{1}{2}(f(x)^2-g(x)^2)dx\right)$,

her er det dog lettere å finne tyngdepunktet av samme funksjon over $x$-aksen og snu du finner på hodet, da de er symmetriske uansett.

Da får du at

$(\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{4}{\pi r^2} \int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2}x(\sqrt{1-x^2}-|x|)dx=0, \frac{4}{\pi r^2} \int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2} \frac{1}{2}(1-x^2-|x|^2)=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)$.

Hvis vi så snur det på hodet får vi altså

$(\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{4\sqrt{2}}{3\pi},0\right) $
Gjest

Hvordan fant du hva f(x) og g(x) er?
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Gjest skrev:Hvordan fant du hva f(x) og g(x) er?
Hvis du tegner opp funksjonene, som oppgaven spør om, kan du ganske enkelt se at funksjonene som avgrenses er likningen for en halvsirkel [tex]f(x)=\sqrt{r^2-x^2}, r>0[/tex] og absolutt verdien av $x$, $g(x)=|x|$
Gjest

Jeg har et annet spørsmål relatert til denne oppgaven.

La F(x,y) = (−y,x).
Finn linjeintegralet [tex]\oint_{\delta D}^{} F \cdot dr[/tex] både ved direkte utregning og ved å bruke Green’s teorem. (δD er randkurven til D, orientert mot klokka.)
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Gjest skrev:Jeg har et annet spørsmål relatert til denne oppgaven.

La F(x,y) = (−y,x).
Finn linjeintegralet [tex]\oint_{\delta D}^{} F \cdot dr[/tex] både ved direkte utregning og ved å bruke Green’s teorem. (δD er randkurven til D, orientert mot klokka.)
Ved første øyekast vil jeg hinte til at du prøver å bruke Green's teorem.
Gjest

Jeg får ikke til den "direkte utregningen"
josi

Gjest skrev:Jeg får ikke til den "direkte utregningen"
Har du informasjon om randkurven?
Gjest

Randkurven er til område D gitt øverst i oppgaven
Gjest

Gjest skrev:La D være området i høyre halvplan (dvs. x ≥ 0) begrenset av kurvene y = x, y = −x og x^2 + y^2 = 1.

Tegn D og finn arealet og tyngdepunktet.
Hvordan løser jeg denne ved bruk av polarkoordinater?
Guest

Hei!

Hvordan fikk du kvadratroten til 2 delt på 2 i integralet? :)
Svar