eksponentiell vekst formel

[Gjest]

Hei oppgaven lyder slik:

En verdi, y(t), vokser eksponentiell med en fast prosent over like store
tidsintervall. Denne verdien er femdoblet i løpet av 3 år.
Sett opp en funksjonsuttrykk for y(t)

Jeg har tenkt at hvis vi kaller startverdi for [tex]y_0[/tex] så får vi at [tex]y_0*\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{\frac{t}{3}}=5y_0[/tex]

men fasiten er [tex]y(t)=y_0*5^{\frac{t}{3}}[/tex]

jeg forstår ikke hvorfor 5 tallet er prosenten? det står jo kun at verdien femdobles ila. 3 år, men ikke at prosenten er det? hva er det jeg ikke forstår her ?

[SveinR]

$5$-tallet angir ikke prosenten i denne formelen. Men vi ser at formelen er korrekt, for hvis vi setter inn $t=3$ får vi $y(3)=5y_o$, altså at den har blitt $5$ ganger større på $3$ år.

En mulig måte å komme frem til denne formelen:

Vi har generelt at
$\textrm{sluttverdi} = \textrm{startverdi}\cdot \textrm{vekstfaktor}^{\textrm{antall år}}$

Vi vet at på $3$ år skal verdien bli $5$ ganger større, så med $\textrm{startverdi}=y_0$ og $\textrm{sluttverdi} = 5y_0$ får vi

$5y_0 = y_0\cdot \textrm{vekstfaktor}^3 \Rightarrow \textrm{vekstfaktor}^3 = 5$

Dette gir til slutt en $\textrm{vekstfaktor} = 5^{\frac{1}{3}}$, som til slutt gir formelen (for $\textrm{sluttverdi} = y(t)$):

$y(t) = y_0\cdot \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^t = y_0\cdot 5^{\frac{1}{3}\cdot t} = y_0\cdot 5^{\frac{t}{3}}$

Når det gjelder hva selve den prosentvise økningen er, må vi se på vekstfaktoren:

$\textrm{vekstfaktor} = 5^{\frac{1}{3}}\approx 1.71$

så økningen er ca $71\,\%$ per år.

[Gjest]

$5$-tallet angir ikke prosenten i denne formelen. Men vi ser at formelen er korrekt, for hvis vi setter inn $t=3$ får vi $y(3)=5y_o$, altså at den har blitt $5$ ganger større på $3$ år.

En mulig måte å komme frem til denne formelen:

Vi har generelt at
$\textrm{sluttverdi} = \textrm{startverdi}\cdot \textrm{vekstfaktor}^{\textrm{antall år}}$

Vi vet at på $3$ år skal verdien bli $5$ ganger større, så med $\textrm{startverdi}=y_0$ og $\textrm{sluttverdi} = 5y_0$ får vi

$5y_0 = y_0\cdot \textrm{vekstfaktor}^3 \Rightarrow \textrm{vekstfaktor}^3 = 5$

Dette gir til slutt en $\textrm{vekstfaktor} = 5^{\frac{1}{3}}$, som til slutt gir formelen (for $\textrm{sluttverdi} = y(t)$):

$y(t) = y_0\cdot \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^t = y_0\cdot 5^{\frac{1}{3}\cdot t} = y_0\cdot 5^{\frac{t}{3}}$

Når det gjelder hva selve den prosentvise økningen er, må vi se på vekstfaktoren:

$\textrm{vekstfaktor} = 5^{\frac{1}{3}}\approx 1.71$

så økningen er ca $71\,\%$ per år.

fiffig , takk