ordnet utvalg

[maropp52 offline]

Hei. Jeg kom over en oppgave i oppgavedelen til sinus r1 som jeg ikke forstår hvordan jeg skal løse. Temaet er ordnet utvalg som innebærer reglene n^k for valg med tilbakelegging og nPr for valg uten tilbakelegging hvor rekkefølgen har betydning.

Oppgaven lyder som følger:
3.156
På et fat ligger det epler, pærer, bananer, appelsiner og kiwi. Du skal ta med deg frukt på tur, høyst én frukt av hver type. Hvor mange utvalg kan du gjøre?

Svaret i fasiten sier at du kan gjøre 31 forskjellige utvalg. jeg finner ikke 31 som svar og prøver meg frem med 5! eller 1!+2!+3!+4!+5! men ingenting henger på greip og vi klarer ikke finne svaret om vi fysisk teller alle utvalgene. Kan det hende vi tolker oppgaven feil? evt hvordan skal den tolkes?

vår tolkning er at du kan kun ta forskjellige frukter. du kan velge om du vil ta 1,2,3,4 eller 5 frukter med deg. og lengre kommer vi egentlig ikke....

vi finner heller ikke noen "feil i boka" side på sinus sine nettsider for opplag 8 utgitt i 2013. og det fins som kjent ingen løsningsforslag til denne delen av boka.

[Kristian Saug offline]

Hei. Du kan ta med 1,2,3,4 eller 5 frukter. Alltid av forskjellige slag.

Om du f. eks tar med 3 frukter, kan dette gjøres på nCr(5,3) = 10 måter.

Antall forskjellige valg = nCr(5,1) + nCr(5,2) + nCr(5,3) + nCr(5,4) + nCr(5,5) = 31

Kan løses i CAS (eller i hodet!)

[josi offline]

Hei. Jeg kom over en oppgave i oppgavedelen til sinus r1 som jeg ikke forstår hvordan jeg skal løse. Temaet er ordnet utvalg som innebærer reglene n^k for valg med tilbakelegging og nPr for valg uten tilbakelegging hvor rekkefølgen har betydning.

Oppgaven lyder som følger:
3.156
På et fat ligger det epler, pærer, bananer, appelsiner og kiwi. Du skal ta med deg frukt på tur, høyst én frukt av hver type. Hvor mange utvalg kan du gjøre?

Svaret i fasiten sier at du kan gjøre 31 forskjellige utvalg. jeg finner ikke 31 som svar og prøver meg frem med 5! eller 1!+2!+3!+4!+5! men ingenting henger på greip og vi klarer ikke finne svaret om vi fysisk teller alle utvalgene. Kan det hende vi tolker oppgaven feil? evt hvordan skal den tolkes?

vår tolkning er at du kan kun ta forskjellige frukter. du kan velge om du vil ta 1,2,3,4 eller 5 frukter med deg. og lengre kommer vi egentlig ikke....

vi finner heller ikke noen "feil i boka" side på sinus sine nettsider for opplag 8 utgitt i 2013. og det fins som kjent ingen løsningsforslag til denne delen av boka.

Oppgaven sier at du høyst kan ta med deg én frukt av hver type, dvs. at du altså ikke kan ta med deg mer enn én av hver av frukttypene. Det er det samme som at det bare ligger et eksemplar av hver type i kurven, et eple, én pære osv. Det ligger vel også i oppgaveteksten en forutsetning om at du minst tar med én frukt.

Alternativene er nå at du kan ha med deg enten 1 eller 2 eller 3 eller 4 eller 5 frukter.
1 frukt kan velges på 5C1 = 5 måter, 2 frukter på 5C2 = 10 måter, 3 frukter på 5C3 = 10 måter, 4 frukter på 5C4 = 5 måter og fem frukter kan velges på 5C5 = 1 måte. Tilsammen blir dette 5+10+10+5 +1 = 31.

[Kristian Saug offline]

Aller enklest er det å bruke CAS:

Sum(nCr(5,n),n,1,5)
svar=31

Om det var 6 forskjellige frukter:

Sum(nCr(6,n),n,1,6)
svar=63

osv!

[josi offline]

Aller enklest er det å bruke CAS:

Sum(nCr(5,n),n,1,5)
svar=31

Om det var 6 forskjellige frukter:

Sum(nCr(6,n),n,1,6)
svar=63

osv!

Man kan også betrakte problemet med n frukttyper som å regne ut rekke n i Pascals trekant minus første element: 2^n -1.

[turbobjørn offline]

Temaet er ordnet utvalg som innebærer reglene n^k for valg med tilbakelegging og nPr for valg uten tilbakelegging hvor rekkefølgen har betydning.

Alternativene er nå at du kan ha med deg enten 1 eller 2 eller 3 eller 4 eller 5 frukter.
1 frukt kan velges på 5C1 = 5 måter, 2 frukter på 5C2 = 10 måter, 3 frukter på 5C3 = 10 måter, 4 frukter på 5C4 = 5 måter og fem frukter kan velges på 5C5 = 1 måte. Tilsammen blir dette 5+10+10+5 +1 = 31.

Hei. Jeg prøver meg på den samme oppgaven nå, og lurer på noe.

I dette delkapittelet har jo rekkefølgen betydning, noe den ikke har i 3.6 (Uordnede utvalg). Men tolker jeg det riktig her at rekkefølgen for denne oppgaven ikke har betydning, altså er det en oppgave som egentlig hører hjemme i 3.6, men som er tatt med for å utfordre her?

Og dersom rekkefølgen hadde noe å si her, da ville svaret blitt n=5, k= 5 --> n!=5!=120?

[josi offline]

I dette delkapittelet har jo rekkefølgen betydning, noe den ikke har i 3.6 (Uordnede utvalg). Men tolker jeg det riktig her at rekkefølgen for denne oppgaven ikke har betydning, altså er det en oppgave som egentlig hører hjemme i 3.6, men som er tatt med for å utfordre her?

Og dersom rekkefølgen hadde noe å si her, da ville svaret blitt n=5, k= 5 --> n!=5!=120?

Hva som er hovedtema i et delkapittel vil nok gi en god pekepinn for løsningsmetoder og angrepsvinkler i de tilhørende oppgaver. Men det avgjørende vil likevel være innholdet i de enkelte oppgavene. I vårt frukttilfelle er det temmelig klart at det ikke spiller noen rolle i hvilken rekkefølge vi plukker frukt fra fatet, om vi f.eks. først tar et eple og så en banan eller omvendt, for hvor mange utvalg av frukttyper på størrelse fra 1 - 5 vi kan lage.

Hvis rekkefølgen hadde hatt betydning, hvis f.eks. den første frukten jeg trekker skal gå til Per og den andre til Eva, så ville antall utvalg på to ikke
være 5 C 2 = 10, men 5 P 2 = 20. Samlet ville da summen av de ordnede utvalgene være 5 P 1 + 5 P 2 + 5 P 3 + 5 P 4 + 5 P 5 = 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325

[turbobjørn offline]

Takk for utfyllende svar! Det ga mening nå.