regne ut grenseverdi

[Gjest]

Oppgaven er som følgende;

[tex]\lim_{x \to \infty}\frac{x^5-e^{2x}}{700e^x+\left ( \ln x \right )^{1000}}[/tex]

Dette har jeg tenkt

Jeg tenker å bruke metoden med dominerende ledd; aktuelle kandidater å sjekke er


[tex]x^5[/tex], [tex]e^{2x}[/tex] , [tex]\left ( \ln x \right )^{1000}[/tex]

Jeg observerer først at
* [tex]\left ( x^5 \right )'=5x^4[/tex]
* [tex]\left ( e^{2x} \right )'=2e^{2x}[/tex]
* [tex]\left (\left ( \ln x \right )^{1000} \right )'=\frac{1000 \left (\ln x \right )^{999}}{x}[/tex]

Her tenker jeg at [tex]\left ( e^{2x} \right )'>\left ( x^{5} \right )'> \left (\left ( \ln x \right )^{1000} \right )'[/tex]

Slik at

[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x^5-e^{2x}}{700e^{x}+\left ( \ln x \right )^{1000}}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^5}{e^{2x}}-1}{\frac{700}{e^x}+\frac{\left ( \ln x \right )^{1000}}{e^{2x}}}[/tex]

Dette blir et problem [tex]\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^5}{e^{2x}}-1}{\frac{700}{e^x}+\frac{\left ( \ln x \right )^{1000}}{e^{2x}}} = \frac{0-1}{0+0} = PROBLEM[/tex]

Hvor ligger feilantagelsen?

[Gjest]

TS her,

jeg ser at hvis jeg


[tex]\large e^{2x}=e^x*e^x[/tex]

så blir det[tex]\large \lim_{x \to \infty} \large \frac{\frac{x^5}{700e^x}-\frac{e^x*e^x}{700e^x}}{\frac{700e^x}{700e^x}+\frac{\left ( \ln x \right )^{1000}}{700e^x}}= \large \large \lim_{x \to \infty} \large -\frac{1}{700}e^x = \large -\infty[/tex]

Men hvorfor er min måte matematisk ulogisk, det er jo logisk at [tex]\large e^{2x} > \large e^{x}[/tex]
så hvorfor kan jeg ikke dele på dette??

[SveinR]

Det er vel ikke noe ulogisk her i grunnen, med grensen $\lim_{x\rightarrow \infty}$ så går det første uttrykket ditt (som du har vist) mot $-1$ i teller og mot $0$ i nevner - dermed vokser det over alle grenser og går mot $-\infty$.

[Gjest]

Det er vel ikke noe ulogisk her i grunnen, med grensen $\lim_{x\rightarrow \infty}$ så går det første uttrykket ditt (som du har vist) mot $-1$ i teller og mot $0$ i nevner - dermed vokser det over alle grenser og går mot $-\infty$.

Grunnen til at jeg spør dette er ulogisk er fordi:



[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x^5-e^{2x}}{700e^{x}+\left ( \ln x \right )^{1000}}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^5}{e^{2x}}-1}{\frac{700}{e^x}+\frac{\left ( \ln x \right )^{1000}}{e^{2x}}}[/tex]

Dette blir et problem [tex]\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^5}{e^{2x}}-1}{\frac{700}{e^x}+\frac{\left ( \ln x \right )^{1000}}{e^{2x}}} = \frac{0-1}{0+0} = PROBLEM[/tex]

Hvor ligger feilantagelsen min ?

[Aleks855]

Feilantakelsen din er at du prøver å sette inn $x = \infty$ slik at nevner-leddene blir $0$. Tenk heller at $x \to \infty$ som betyr at $\frac{700}{e^x} \to 0$.

Dette gjelder begge nevner-leddene. De går begge mot 0, som gjør at brøken vokser over alle grenser og går mot uendelig. Eller rettere sagt, -uendelig, siden teller er negativ.

[Gjest]

Feilantakelsen din er at du prøver å sette inn $x = \infty$ slik at nevner-leddene blir $0$. Tenk heller at $x \to \infty$ som betyr at $\frac{700}{e^x} \to 0$.

Dette gjelder begge nevner-leddene. De går begge mot 0, som gjør at brøken vokser over alle grenser og går mot uendelig. Eller rettere sagt, -uendelig, siden teller er negativ.

ah, men er det riktig at det dominerende ledd her er [tex]e^{2x}>e^x[/tex]
?

[Aleks855]

Prøv begge. Hva skjer?