Hei Har ei oppgåve eg treng hjelp til
oppgåve 2.147 R2 Sigma 2015
Oppgåva er som følgande sjå nedan for.
Har løyst a-e utan problem, men står fast på f.
Kva meinar ein med at ein dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-planet.
Her er svara på deloppgåvene a-e
a) 70,5°
b) R (0,0,8), H (2,2,0)
c) α: 2x + 2y + z - 8 = 0, ∠ RHO = 70,5°
d) l: {█(x=2t@y=2t@z=t )┤
e) S (16/( 9 ),16/( 9 ),8/( 9 )), Avstand O til planet q = 8/( 3 )
Figuren viser ein pyramide, OPQR. Lengdene OP, OQ og OR går fram av figuren.
∠ POQ = 90°, og OR står vinkelrett på grunnflata OPQ. Normalen frå O på PQ treffer PQ i H.
a) Vis at OH = 2√2. Forklar at ∠ RHO blir vinkelen (bøyingsvinkelen) mellom grunnflata OPQ og sideflata QPR. Rekn ut denne vinkelen.
Vi plasserer pyramiden i eit koordinatsystem med O i origo, P (4, 0, 0) og Q (0, 4, 0).
b) Kva blir koordinatane til punktet R? Finn koordinatane til H.
c) Punkta P, Q og R definerer eit plan α. Finn likninga for planet α og rekn ut vinkelen
mellom α og xy-planet.
Ei linje l går gjennom origo og står vinkelrett på α.
d) Gi ei parameterframstilling av l.
e) Finn koordinatane til skjeringspunktet mellom l og α. Rekn ut avstanden frå O til α.
Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-playnet.
f) Finn z-koordinaten til O etter dreiinga. Finn også dei andre koordinatane til O etter dreiing.
vektorar
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Best om du gjengir hele oppgaveteksten. Ellers blir det vanskelig å hjelpe.
-
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Hei igjen,
Ja, men det mangler en del opplysninger.
"Figuren viser ein pyramide, OPQR. Lengdene OP, OQ og OR går fram av figuren.
∠ POQ = 90°, og OR står vinkelrett på grunnflata OPQ. Normalen frå O på PQ treffer PQ i H."
Hvor er figuren? Koordinater? Lengder?
Ta bilde og legg ved figuren!
Ja, men det mangler en del opplysninger.
"Figuren viser ein pyramide, OPQR. Lengdene OP, OQ og OR går fram av figuren.
∠ POQ = 90°, og OR står vinkelrett på grunnflata OPQ. Normalen frå O på PQ treffer PQ i H."
Hvor er figuren? Koordinater? Lengder?
Ta bilde og legg ved figuren!
Hei!
Opplysningane gitt på teininga er
OP = 4, OQ = 4, ∠ POQ = 90°
OR = 8, ∠ ROQ = ROP = 90°
∠ RHQ = 90° og OHP = 90°
Hei her er utrekningane på deloppgåve a-e
PQ = √((OP)^2 + (0Q)^2 ) = √(4^2 + 4^2 ) = √(16+16) = √32 = √16 · √2 = 4√2
∆ OPQ er likebeina, ∠ POQ = 90° og ∠ OPQ = ∠ OQP = 45°
∆ OPH ~ ∆ OQH er likebeina, ∠ OHP = ∠ OHQ = 90° og ∠ OPH = OQH = 45°
OH = PH = QH = 1/2 PQ
OH = 1/2 PQ = 1/2 · 4√2 = 2√2
OH = 2√2
∆ OHR er rettvinkla, ∠ HOR 90°. ∠ RHO blir då ein spiss vinkel mellom grunnflata OPQ og sideflata PQR.
tan ∠ RHO = OR/OP = 8/(2√2) ≈ 2,83
tan – 1 (2,83) = 70,54°
∠ RHO = 70,5°
Vi plasserer pyramiden i eit koordinatsystem med O i origo, P (4, 0, 0) og Q (0, 4, 0).
b) Kva blir koordinatane til punktet R? Finn koordinatane til H.
∠ HOR 90°, og punktet R ligg då på z-aksen og avstanden mellom OR = 8 blir koordinatane:
R (0,0,8)
(QP) ⃗ = (QO) ⃗ + (OP) ⃗ = [0, - 4, 0] + [4, 0, 0] = [4, - 4, 0]
(QH) ⃗ = 1/2 QP = 1/2 [4, - 4, 0] = [2, - 2, 0]
(OH) ⃗ = (OQ) ⃗ + (QH) ⃗ = [0, 4, 0] + [2, - 2, 0] = [2, 2, 0]
H (2, 2, 0)
c) Punkta P, Q og R definerer eit plan α. Finn likninga for planet α og rekn ut vinkelen
mellom α og xy-planet.
(RQ) ⃗ = [0 - 0, 4 – 0, 0 - 8] = [0, 4, - 8]
(RP) ⃗ = [4 - 0, 0 – 0, 0 - 8] = [4, 0, - 8]
(n_α ) ⃗ = (RQ) ⃗ x (RP) ⃗ = [0, 4, - 8] x [4, 0, - 8]
(_4^0) _(0 )^4 〖⤨ 〗_( -8)^( -8 ) 〖⤨ 〗_4^0 〖⤨ 〗_( 0 )^( 4 ) _(-8)^(-8)
[((4) · (-8)) - (0) · (-8)), (-8) · (4) - ((-8) · (0)), ((0) · (0)) – ((4) · (4))]
[(-32 - 0), (- 32 - 0), (0 – 16)] = [-32,-32,-16] = - 16 · [2, 2, 1]
R (0, 0, 8)
2(x – 0) + 2 (y – 0) + 1(z – 8) = 0
2x + 2y +z - 8 = 0
α: 2x + 2y +z - 8 = 0
|n ⃗_α | = |[2,2,1]| = √(2^2+ 2^2+ 1^2 ) = √(4+ 4+ 1) = √9 = 3
|(r_xy ) ⃗ | = |[0,0,1]| = √(0^2+ 0^2+ 1^2 ) = √(0+ 0+ 1) = √1 = 1
n ⃗_α · r ⃗_xy= [2, 2, 1] · [0, 0, 1] = (2 · 0 + 2 · 0 + 1 · 1) = (0 + 0 + 1) = 1
cos (n ⃗_α,r ⃗_xy) = (n ⃗_α · r ⃗_xy)/(|n ⃗_α | · |(r_xy ) ⃗ | ) = 1/( 3 · 1 ) = 1/( 3 ) = 0,3333
cos – 1 (2,83) = 70,54°
∠ RHO = 70,5°
Ei linje l går gjennom origo og står vinkelrett på α.
d) Gi ei parameterframstilling av l.
O (0,0,0)
r ⃗_l = [2, 2, 1]
l: {█(x=2t@y=2t@z=t )┤
e) Finn koordinatane til skjeringspunktet mellom l og α. Rekn ut avstanden frå O til α.
2x + 2y +z - 8 = 0
2 · 2t + 2 · 2t + t - 8 = 0
4t + 4t + t = 8
9t = 8
t = 8/( 9 )
x = 2t y = 2t z = t
x = 2 · 8/( 9 ) y = 2 · 8/( 9 ) z = 8/( 9 )
x = 16/( 9 ) y = 16/( 9 )
S (16/( 9 ),16/( 9 ),8/( 9 ))
q = | ax_1 + by_1 + 〖cz_(1 + d)〗_( ) |/(√(2^2 + 2^2 + 1^2 ) ) = (|2 · 0 + 2 · 0 + 1 · 0 - 8| )/(√(2^2 + 2^2 + 1^2 ) ) = |- 8|/( √(4 + 4 + 1) ) = 8/( √9 ) = 8/( 3 ) ≈ 2,67
Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-playnet.
Opplysningane gitt på teininga er
OP = 4, OQ = 4, ∠ POQ = 90°
OR = 8, ∠ ROQ = ROP = 90°
∠ RHQ = 90° og OHP = 90°
Hei her er utrekningane på deloppgåve a-e
PQ = √((OP)^2 + (0Q)^2 ) = √(4^2 + 4^2 ) = √(16+16) = √32 = √16 · √2 = 4√2
∆ OPQ er likebeina, ∠ POQ = 90° og ∠ OPQ = ∠ OQP = 45°
∆ OPH ~ ∆ OQH er likebeina, ∠ OHP = ∠ OHQ = 90° og ∠ OPH = OQH = 45°
OH = PH = QH = 1/2 PQ
OH = 1/2 PQ = 1/2 · 4√2 = 2√2
OH = 2√2
∆ OHR er rettvinkla, ∠ HOR 90°. ∠ RHO blir då ein spiss vinkel mellom grunnflata OPQ og sideflata PQR.
tan ∠ RHO = OR/OP = 8/(2√2) ≈ 2,83
tan – 1 (2,83) = 70,54°
∠ RHO = 70,5°
Vi plasserer pyramiden i eit koordinatsystem med O i origo, P (4, 0, 0) og Q (0, 4, 0).
b) Kva blir koordinatane til punktet R? Finn koordinatane til H.
∠ HOR 90°, og punktet R ligg då på z-aksen og avstanden mellom OR = 8 blir koordinatane:
R (0,0,8)
(QP) ⃗ = (QO) ⃗ + (OP) ⃗ = [0, - 4, 0] + [4, 0, 0] = [4, - 4, 0]
(QH) ⃗ = 1/2 QP = 1/2 [4, - 4, 0] = [2, - 2, 0]
(OH) ⃗ = (OQ) ⃗ + (QH) ⃗ = [0, 4, 0] + [2, - 2, 0] = [2, 2, 0]
H (2, 2, 0)
c) Punkta P, Q og R definerer eit plan α. Finn likninga for planet α og rekn ut vinkelen
mellom α og xy-planet.
(RQ) ⃗ = [0 - 0, 4 – 0, 0 - 8] = [0, 4, - 8]
(RP) ⃗ = [4 - 0, 0 – 0, 0 - 8] = [4, 0, - 8]
(n_α ) ⃗ = (RQ) ⃗ x (RP) ⃗ = [0, 4, - 8] x [4, 0, - 8]
(_4^0) _(0 )^4 〖⤨ 〗_( -8)^( -8 ) 〖⤨ 〗_4^0 〖⤨ 〗_( 0 )^( 4 ) _(-8)^(-8)
[((4) · (-8)) - (0) · (-8)), (-8) · (4) - ((-8) · (0)), ((0) · (0)) – ((4) · (4))]
[(-32 - 0), (- 32 - 0), (0 – 16)] = [-32,-32,-16] = - 16 · [2, 2, 1]
R (0, 0, 8)
2(x – 0) + 2 (y – 0) + 1(z – 8) = 0
2x + 2y +z - 8 = 0
α: 2x + 2y +z - 8 = 0
|n ⃗_α | = |[2,2,1]| = √(2^2+ 2^2+ 1^2 ) = √(4+ 4+ 1) = √9 = 3
|(r_xy ) ⃗ | = |[0,0,1]| = √(0^2+ 0^2+ 1^2 ) = √(0+ 0+ 1) = √1 = 1
n ⃗_α · r ⃗_xy= [2, 2, 1] · [0, 0, 1] = (2 · 0 + 2 · 0 + 1 · 1) = (0 + 0 + 1) = 1
cos (n ⃗_α,r ⃗_xy) = (n ⃗_α · r ⃗_xy)/(|n ⃗_α | · |(r_xy ) ⃗ | ) = 1/( 3 · 1 ) = 1/( 3 ) = 0,3333
cos – 1 (2,83) = 70,54°
∠ RHO = 70,5°
Ei linje l går gjennom origo og står vinkelrett på α.
d) Gi ei parameterframstilling av l.
O (0,0,0)
r ⃗_l = [2, 2, 1]
l: {█(x=2t@y=2t@z=t )┤
e) Finn koordinatane til skjeringspunktet mellom l og α. Rekn ut avstanden frå O til α.
2x + 2y +z - 8 = 0
2 · 2t + 2 · 2t + t - 8 = 0
4t + 4t + t = 8
9t = 8
t = 8/( 9 )
x = 2t y = 2t z = t
x = 2 · 8/( 9 ) y = 2 · 8/( 9 ) z = 8/( 9 )
x = 16/( 9 ) y = 16/( 9 )
S (16/( 9 ),16/( 9 ),8/( 9 ))
q = | ax_1 + by_1 + 〖cz_(1 + d)〗_( ) |/(√(2^2 + 2^2 + 1^2 ) ) = (|2 · 0 + 2 · 0 + 1 · 0 - 8| )/(√(2^2 + 2^2 + 1^2 ) ) = |- 8|/( √(4 + 4 + 1) ) = 8/( √9 ) = 8/( 3 ) ≈ 2,67
Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-playnet.
-
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Hei igjen,
Har sett grundig gjennom alt du har gjort. Alt er riktig. Godt jobbet!
"Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-planet."
Med dette menes at pyramiden dreies rundt en akse, PQ. PQ forblir altså nøyaktig den samme som før.
Men toppen (pkt R) "bikker fremover" og treffer xy-planet i første kvadrant. Om du ser det hele ovenfra (vinkelrett ned på xy-planet), vil punktet R få positiv x - og y - koordianat. I en enhetsirkel er første kvadrant i vinkelen 0 - 90 grader.
Håper jeg forklarte noenlunde forståelig!
Har sett grundig gjennom alt du har gjort. Alt er riktig. Godt jobbet!
"Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-planet."
Med dette menes at pyramiden dreies rundt en akse, PQ. PQ forblir altså nøyaktig den samme som før.
Men toppen (pkt R) "bikker fremover" og treffer xy-planet i første kvadrant. Om du ser det hele ovenfra (vinkelrett ned på xy-planet), vil punktet R få positiv x - og y - koordianat. I en enhetsirkel er første kvadrant i vinkelen 0 - 90 grader.
Håper jeg forklarte noenlunde forståelig!
Hei
Her er nokre tankar
R får då koordinatane (x, y, o) z = 0, dvs. ligg i xy-planet 1 kvadrant
Punktet O vil då ligge i ein avstand 8/3 over xy-planet der z-koordinaten er 8/3 fordi avstanden mellom
O og S skjeringspunktet med planet er 8/3. og nytt punkt blir då O (8/3, 8/3, 8/3)
Er dette riktig tenkt og korleis skal ein rekne dette ut?
Her er nokre tankar
R får då koordinatane (x, y, o) z = 0, dvs. ligg i xy-planet 1 kvadrant
Punktet O vil då ligge i ein avstand 8/3 over xy-planet der z-koordinaten er 8/3 fordi avstanden mellom
O og S skjeringspunktet med planet er 8/3. og nytt punkt blir då O (8/3, 8/3, 8/3)
Er dette riktig tenkt og korleis skal ein rekne dette ut?
-
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
[tex]\begin{vmatrix} \overrightarrow{OH} \end{vmatrix}=\sqrt{8}[/tex] = [tex]2\sqrt{2}[/tex]
[tex]\begin{vmatrix} \overrightarrow{HR} \end{vmatrix}=\sqrt{72}[/tex] = [tex]6\sqrt{2}[/tex]
Total lengde fra origo, [tex]O[/tex] til [tex]R'[/tex] blir da [tex]2\sqrt{2}[/tex] + [tex]6\sqrt{2}[/tex] = [tex]8\sqrt{2}[/tex]
Siden [tex]R'[/tex] ligger på linja [tex]y=x[/tex] , får vi nytt punkt:
[tex]R'(8,8,0)[/tex]
[tex]\begin{vmatrix} \overrightarrow{HR} \end{vmatrix}=\sqrt{72}[/tex] = [tex]6\sqrt{2}[/tex]
Total lengde fra origo, [tex]O[/tex] til [tex]R'[/tex] blir da [tex]2\sqrt{2}[/tex] + [tex]6\sqrt{2}[/tex] = [tex]8\sqrt{2}[/tex]
Siden [tex]R'[/tex] ligger på linja [tex]y=x[/tex] , får vi nytt punkt:
[tex]R'(8,8,0)[/tex]
Hei!
Takk
Har ein del ting eg ønskjer svar på for å få bedre forståing.
Korleis gå frå total lengde OR = 8√2 til koordinatane R_1 (8,8,0)
R_1 ligg i xy-planet så z-koordinaten må vere null, har det samanheng med at R (0, 0, 8) dreias til
xy-planet at vi får R_1 (8,8,0)
Likninga blir y = x fordi den ligg i 1. kvadrant ?.
Korleis finne koordinatane til nye O
|(OH) ⃗ | = |(|(HO_1 ) ⃗ |)| = 2√2
|(|(OO_1 ) ⃗ |)| = |(OH) ⃗ | + |(|(HO_1 ) ⃗ |)| = 2√2 + 2√2 = 4√2
Korleis gå frå total lengde OO_1 = 5√2 til koordinatane O_1 (x,y,z)
Takk
Har ein del ting eg ønskjer svar på for å få bedre forståing.
Korleis gå frå total lengde OR = 8√2 til koordinatane R_1 (8,8,0)
R_1 ligg i xy-planet så z-koordinaten må vere null, har det samanheng med at R (0, 0, 8) dreias til
xy-planet at vi får R_1 (8,8,0)
Likninga blir y = x fordi den ligg i 1. kvadrant ?.
Korleis finne koordinatane til nye O
|(OH) ⃗ | = |(|(HO_1 ) ⃗ |)| = 2√2
|(|(OO_1 ) ⃗ |)| = |(OH) ⃗ | + |(|(HO_1 ) ⃗ |)| = 2√2 + 2√2 = 4√2
Korleis gå frå total lengde OO_1 = 5√2 til koordinatane O_1 (x,y,z)
Punktet R' plasserer se på forlenginga av OH , dvs. på linja y = x.
OR' = OH + HR' = OH + HR = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] + 8[tex]\sqrt{2}[/tex] = 10[tex]\sqrt{2}[/tex]
Koordinatane til R': x-koordinaten = y-koordinaten = 10[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\cdot[/tex]sin45[tex]^{0}[/tex] = 10
Med andre ord : R'(10 , 10 , 0 )
z-koordinaten til O' = avstanden frå O' til xy-planet = avstanden frå O' til sideflata PQR' ( denne ligg no i xy-planet ) =
avstanden frå O til planet [tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex] ( utrekna tidlegare )
x- og y-koordinaten til O'
Hint: Ta utgangspunkt i [tex]\bigtriangleup[/tex]OHR ( før dreiinga ). Her kjenner du alle tre sidene.
Teikn figur og finn ut korleis denne trekanten ( O'HR' ) er plassert etter dreiinga( hugs at HR' ligg på forlenginga av OH )
Finn så komponenten av HO' ( HO' = HO = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] ) i xy-planet ( ligg på linja y =x )
Til slutt x- og y-koordinaten: x = y = HO' [tex]\cdot[/tex] sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
OR' = OH + HR' = OH + HR = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] + 8[tex]\sqrt{2}[/tex] = 10[tex]\sqrt{2}[/tex]
Koordinatane til R': x-koordinaten = y-koordinaten = 10[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\cdot[/tex]sin45[tex]^{0}[/tex] = 10
Med andre ord : R'(10 , 10 , 0 )
z-koordinaten til O' = avstanden frå O' til xy-planet = avstanden frå O' til sideflata PQR' ( denne ligg no i xy-planet ) =
avstanden frå O til planet [tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex] ( utrekna tidlegare )
x- og y-koordinaten til O'
Hint: Ta utgangspunkt i [tex]\bigtriangleup[/tex]OHR ( før dreiinga ). Her kjenner du alle tre sidene.
Teikn figur og finn ut korleis denne trekanten ( O'HR' ) er plassert etter dreiinga( hugs at HR' ligg på forlenginga av OH )
Finn så komponenten av HO' ( HO' = HO = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] ) i xy-planet ( ligg på linja y =x )
Til slutt x- og y-koordinaten: x = y = HO' [tex]\cdot[/tex] sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
Rettelse ( siste linje i mitt forrige innlegg ): x-og y-koordinaten til O' : ( 2[tex]\sqrt{2}[/tex] + [tex]\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex])[tex]\cdot[/tex]sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
Takk
O_1: (2√2 + (2√2)/( 3 ) ) · sin 45°
Korleis kjem ein fram til avstanden (2√2)/( 3 )
O_1: (2√2 + (2√2)/( 3 ) ) · sin 45°
Korleis kjem ein fram til avstanden (2√2)/( 3 )
cosR'HO' = cosRHO = [tex]\frac{HO}{RH}[/tex] = [tex]\frac{2\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex]
Lat F vere fotpunktet for normalen frå O' på xy-planet ( linja y = x ). Da er
HF = HO'[tex]\cdot[/tex] cosR'HO' = 2[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{1}{3}[/tex] =[tex]\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]
Avstanden OF ( ligg på linja y = x ) = OH + HF = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] + [tex]\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex] = [tex]\frac{8\sqrt{2}}{3}[/tex]
x- og y-koordinaten til O' = x-og y-koordinaten til F = OF [tex]\cdot[/tex] sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
Lat F vere fotpunktet for normalen frå O' på xy-planet ( linja y = x ). Da er
HF = HO'[tex]\cdot[/tex] cosR'HO' = 2[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{1}{3}[/tex] =[tex]\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]
Avstanden OF ( ligg på linja y = x ) = OH + HF = 2[tex]\sqrt{2}[/tex] + [tex]\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex] = [tex]\frac{8\sqrt{2}}{3}[/tex]
x- og y-koordinaten til O' = x-og y-koordinaten til F = OF [tex]\cdot[/tex] sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
Tusen takk for all hjelp.
Her er mitt svar på f)
Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-playnet.
f) Finn z-koordinaten til O etter dreiinga. Finn også dei andre koordinatane til O etter dreiing.
Vi dreier pyramiden rundt ein akse, PQ. PQ blir uendra. Punktet R «bikkar framover» og treff xy-planet i første kvadrant på linja x = y.
|(OH) ⃗ | = |[2,2,0]| = √(2^2+ 2^2+ 0^2 ) = √(4+ 4+ 0) = √8 = √4 · √2 = 2√2
(HR) ⃗ = [0 - 2 , 0 - 2, 8 - 0] = [ - 2, - 2, 8]
|(HR) ⃗ | = |[-2,-2,8]| = √(〖(-2)〗^2+〖(-2)〗^2+8^2 ) = √(4+4+64) = √72 = √36 · √2
= 6√2
Punktet til R_1 ligg på forlenginga av OH, på linja x = y
|(|(OR_1 ) ⃗ |)| = |(OH) ⃗ | + |(HR) ⃗ | = 2√2 + 6√2 = 8√2
Koordinatane til R_1(x, y, 0), z-verdien er null fordi punktet R_1ligg i xy-planet. Koordinatane ligg på linja x = y og x-koordinat er lik y-koordinat.
Vi opprettar to normalar frå punktet R_1ned på x-aksen og y-aksen, skjeringspunktet med
x-aksen kallar vi A og skjeringspunktet med y-aksen kallar vi B
Sin 45° = |(|(AR_1 ) ⃗ |)|/|(|(OR_1 ) ⃗ |)|
|(|(AR_1 ) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OR_1 ) ⃗ |)| = Sin 45° · 8√2 = 8
x-koordinat = 8
Sin 45° = |(|(BR_1 ) ⃗ |)|/|(|(OR_1 ) ⃗ |)|
|(|(BR_1 ) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OR_1 ) ⃗ |)| = Sin 45° · 8√2 = 8
y-koordinat = 8
R_1(8, 8, 0)
Avstanden frå O_1 til xy-planet er avstanden frå O_1 til sideflata PQR_1, som no ligg i xy-planet. Denne avstanden er lik avstanden frå O til planet α og er 8/( 3 ). Avstanden frå O_1 til xy-planet blir då z-koordinaten til punktet O_1.
Vi opprettar ein normal frå punktet O_1ned på linja y = x, kallar punktet for C.
cos ∠ RHO = |(|(HO) ⃗ |)|/|(|(RH) ⃗ |)| = (2√2 )/(6√2) = 1/( 3 )
|(OH) ⃗ | = |(|(HO_1 ) ⃗ |)| = 2√2
|(HC) ⃗ | = |(|(HO_1 ) ⃗ |)| · cos ∠ R_1HO_1 = 2√2 · 1/( 3 ) = (2√2)/( 3 )
Avstanden OF ligg på linja y = x
|(|(OC) ⃗ |)| = |(OH) ⃗ | + |(|(HC) ⃗ |)| = 2√2 + (2√2)/( 3 ) = (3 · 2√2)/( 3 ) + (2√2)/( 3 ) = (6√2)/( 3 ) + (2√2)/( 3 ) = (8√2)/( 3 )
Vi opprettar to normalar frå punktet C ned på x-aksen og y-aksen, skjeringspunktet med
x-aksen kallar vi D og skjeringspunktet med y-aksen kallar vi E
Sin 45° = |(|(DC) ⃗ |)|/|(|(OC) ⃗ |)|
|(|(DC) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OC) ⃗ |)| = Sin 45° · (8√2)/( 3 ) = √2/( 2 ) · (8√2)/( 3 ) = (8 · 2)/( 6) = 16/( 6 ) = 8/( 3 )
x-koordinat = 8/( 3 )
Sin 45° = |(|(EC) ⃗ |)|/|(|(OC) ⃗ |)|
|(|(EC) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OC) ⃗ |)| = Sin 45° · 8√2 = √2/( 2 ) · (8√2)/( 3 ) = (8 · 2)/( 6) = 16/( 6 ) = 8/( 3 )
y-koordinat = 8/( 3 )
O_1 (8/( 3 ),8/( 3 ),8/( 3 ) )
Her er mitt svar på f)
Vi dreier pyramiden om PQ til R fell i første kvadrant av xy-playnet.
f) Finn z-koordinaten til O etter dreiinga. Finn også dei andre koordinatane til O etter dreiing.
Vi dreier pyramiden rundt ein akse, PQ. PQ blir uendra. Punktet R «bikkar framover» og treff xy-planet i første kvadrant på linja x = y.
|(OH) ⃗ | = |[2,2,0]| = √(2^2+ 2^2+ 0^2 ) = √(4+ 4+ 0) = √8 = √4 · √2 = 2√2
(HR) ⃗ = [0 - 2 , 0 - 2, 8 - 0] = [ - 2, - 2, 8]
|(HR) ⃗ | = |[-2,-2,8]| = √(〖(-2)〗^2+〖(-2)〗^2+8^2 ) = √(4+4+64) = √72 = √36 · √2
= 6√2
Punktet til R_1 ligg på forlenginga av OH, på linja x = y
|(|(OR_1 ) ⃗ |)| = |(OH) ⃗ | + |(HR) ⃗ | = 2√2 + 6√2 = 8√2
Koordinatane til R_1(x, y, 0), z-verdien er null fordi punktet R_1ligg i xy-planet. Koordinatane ligg på linja x = y og x-koordinat er lik y-koordinat.
Vi opprettar to normalar frå punktet R_1ned på x-aksen og y-aksen, skjeringspunktet med
x-aksen kallar vi A og skjeringspunktet med y-aksen kallar vi B
Sin 45° = |(|(AR_1 ) ⃗ |)|/|(|(OR_1 ) ⃗ |)|
|(|(AR_1 ) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OR_1 ) ⃗ |)| = Sin 45° · 8√2 = 8
x-koordinat = 8
Sin 45° = |(|(BR_1 ) ⃗ |)|/|(|(OR_1 ) ⃗ |)|
|(|(BR_1 ) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OR_1 ) ⃗ |)| = Sin 45° · 8√2 = 8
y-koordinat = 8
R_1(8, 8, 0)
Avstanden frå O_1 til xy-planet er avstanden frå O_1 til sideflata PQR_1, som no ligg i xy-planet. Denne avstanden er lik avstanden frå O til planet α og er 8/( 3 ). Avstanden frå O_1 til xy-planet blir då z-koordinaten til punktet O_1.
Vi opprettar ein normal frå punktet O_1ned på linja y = x, kallar punktet for C.
cos ∠ RHO = |(|(HO) ⃗ |)|/|(|(RH) ⃗ |)| = (2√2 )/(6√2) = 1/( 3 )
|(OH) ⃗ | = |(|(HO_1 ) ⃗ |)| = 2√2
|(HC) ⃗ | = |(|(HO_1 ) ⃗ |)| · cos ∠ R_1HO_1 = 2√2 · 1/( 3 ) = (2√2)/( 3 )
Avstanden OF ligg på linja y = x
|(|(OC) ⃗ |)| = |(OH) ⃗ | + |(|(HC) ⃗ |)| = 2√2 + (2√2)/( 3 ) = (3 · 2√2)/( 3 ) + (2√2)/( 3 ) = (6√2)/( 3 ) + (2√2)/( 3 ) = (8√2)/( 3 )
Vi opprettar to normalar frå punktet C ned på x-aksen og y-aksen, skjeringspunktet med
x-aksen kallar vi D og skjeringspunktet med y-aksen kallar vi E
Sin 45° = |(|(DC) ⃗ |)|/|(|(OC) ⃗ |)|
|(|(DC) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OC) ⃗ |)| = Sin 45° · (8√2)/( 3 ) = √2/( 2 ) · (8√2)/( 3 ) = (8 · 2)/( 6) = 16/( 6 ) = 8/( 3 )
x-koordinat = 8/( 3 )
Sin 45° = |(|(EC) ⃗ |)|/|(|(OC) ⃗ |)|
|(|(EC) ⃗ |)|= Sin 45° · |(|(OC) ⃗ |)| = Sin 45° · 8√2 = √2/( 2 ) · (8√2)/( 3 ) = (8 · 2)/( 6) = 16/( 6 ) = 8/( 3 )
y-koordinat = 8/( 3 )
O_1 (8/( 3 ),8/( 3 ),8/( 3 ) )
Her kan det vere svært nyttig å teikne ein figur som viser korleis punktet mitt F ( som du kallar C )
plasserer seg i xy-planet på linja y = x.
Du har funne OC = [tex]\frac{8\sqrt{2}}{3}[/tex] der punktet C ligg på linja y = x ( hugs at alle punkt på denne linja
har same x- og y-koordinat. Difor er det nok å rekne ut den eine , eks. y-koordinaten ) . Denne er katet i ein rettvinkla
trekant med hypotenus lik OC og motståande vinkel lik 45[tex]^{0}[/tex] ).
Altså er x-koordinaten = y-koordinaten = OC [tex]\cdot[/tex] sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8\sqrt{2}}{3}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
P. S. ! Vi kunne like gjerne rekne ut x-koordinaten: Da får vi x = OC[tex]\cdot[/tex] cos45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
Hugs at sin45[tex]^{0}[/tex] = cos45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Håpar dette notatet verkar oppklarande !
plasserer seg i xy-planet på linja y = x.
Du har funne OC = [tex]\frac{8\sqrt{2}}{3}[/tex] der punktet C ligg på linja y = x ( hugs at alle punkt på denne linja
har same x- og y-koordinat. Difor er det nok å rekne ut den eine , eks. y-koordinaten ) . Denne er katet i ein rettvinkla
trekant med hypotenus lik OC og motståande vinkel lik 45[tex]^{0}[/tex] ).
Altså er x-koordinaten = y-koordinaten = OC [tex]\cdot[/tex] sin45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8\sqrt{2}}{3}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
P. S. ! Vi kunne like gjerne rekne ut x-koordinaten: Da får vi x = OC[tex]\cdot[/tex] cos45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
Hugs at sin45[tex]^{0}[/tex] = cos45[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Håpar dette notatet verkar oppklarande !