sannsynlighet

[Mattehjelpmeg]

Hei. kan nokon hjelpe meg med sannsynlighet.
Her er oppgaven :
I en eske er det tre blå og tre røde kuler. Du trekker tilfeldig tre kuler fra esken.
Hva er sannsynligheten for at du får én blå og to røde kuler?

[SveinR]

Denne kan løses på flere forskjellige måter. Den kanskje greieste (så lenge tallene er såpass små), og mest logiske er å se hvilke muligheter du har til å trekke én blå og to rød:

* Enten kan du trekke blå, rød, rød (BRR)
* Eller rød, blå, rød (RBR)
* Eller rød, rød, blå (RRB)

Siden det ikke er noe overlapp mellom disse hendelsene, blir den fulle sannsynligheten summen av disse, altså [tex]P(BRR) + P(RBR) + P(RRB)[/tex].

Ser du hvordan du kan regne ut disse?

[Mattehjelpmeg]

ikkje heilt

[SveinR]

Ok, la oss si vi skal regne ut [tex]P(BRR)[/tex].

Tenk hvert "trekk" fremover. Hva er sannsynligheten for at du trekker blå første gang? Alle de seks kulene er like sannsynlige å trekke, og det er tre som er blå. Sannsynligheten blir derfor [tex]\frac{3}{6}[/tex] for at vi trekker blå først.

For det andre trekket, så skal vi ha en rød kule. Det er fortsatt tre røde kuler igjen, men kun fem totalt (vi har jo allerede tatt bort én av de blå). Sannsynligheten for rød i andre trekk er derfor [tex]\frac{3}{5}[/tex].

Da klarer du kanskje å finne sannsynligheten for rød i det siste trekket? Den fulle sannsynligheten for [tex]P(BRR)[/tex] får vi ved å gange sammen sannsynligheten for hvert trekk.

[Mattehjelpmeg]

Kan du hjelpe meg ein ting til, hvordan regner eg sannsynligheten for at vi får minst én kule av hver farge?

[Kristian Saug]

Hei,

Helt enig i hvordan Svein R resonnerer for at du skal forstå oppgaven. Trinn for trinn.

Alternativt:

Har du lært om hypergeometrisk fordeling?
Vi skal trekke en av tre blå kuler og to av tre røde kuler.

Da får vi

[tex]P(1B+2R)=\frac{\binom{3}{1}\cdot \binom{3}{2}}{\binom{6}{3}}=\frac{9}{20}[/tex]

[Kristian Saug]

Kan du hjelpe meg ein ting til, hvordan regner eg sannsynligheten for at vi får minst én kule av hver farge?

Sannsynligheten for at vi får minst en kule av hver farge blir
[tex]1-P(3R)-P(3B)[/tex]

Ser du den?

Svar: [tex]\frac{9}{10}[/tex]

[Mattehjelpmeg]

Nei, eg ser ikkje den. Eg er verkelig ikkje flink i sannsynlighet

[Kristian Saug]

Nei, eg ser ikkje den. Eg er verkelig ikkje flink i sannsynlighet

Ikke flink? Jo, se nå:

Sannsynligheten for å få minst en rød kule er sannsynligheten for å få en, to eller tre røde kuler. Ikke sant?
Det blir det samme som alle muligheter for røde kuler ([tex]0,1,2,3[/tex]) minus muligheten for å få ingen røde kuler.

Alle muligheter er [tex]100[/tex] %, dvs [tex]1[/tex]

Og sjansen for å få ingen røde er [tex]\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{20}[/tex]

Sjansen for å få ingen blå er den samme, [tex]\frac{1}{20}[/tex]

Dermed blir sannsynligheten for å få minst en kule av hver farge [tex]1-\frac{1}{20}-\frac{1}{20}=1-\frac{2}{20}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}[/tex]