Massetetthet og integral med absoluttverdi

[Bananatar]

Klarer ikke løse oppgaven jeg har lagt ved. Hvordan får jeg tatt hånd om absoluttverdien til z? Blir bar kaos når jeg prøver å løse det opp, og ender opp med å få ut svar med bokstaver i når jeg forsøker å beregne videre.

[Nebuchadnezzar]

Har du prøvd å forestille deg hvordan området ser ut? Det kan hjelpe med å bestemme grensene.

Måten du kan tegne området på er at du først setter $z = 0$ og tegner området i $xy$-planet, så setter du $x = 0$ og tegner området i $zy$-planet og $y=0$ og tegne i $zx$-planet. Vill tipping så tipper jeg området vi betrakter
er snittet mellom en kule i det øvre halvplanet og en opp ned kjegle. Men tegn for å være sikker.

Grensene kan bestemmes ved at du bytter til sfæriske koordinater og setter inn i ulikhetene $0 < \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ og $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} < 1 - |z|$.

[Mattebruker]

Ei interessant (" challenging .Prøver meg med eit løysingforslag. Er spent på reaksjonen fra Nebudkadnezar !

Ulikskapen [tex]\sqrt{x^{2}+ y^{2} +z^{^{2}}}[/tex] < 1 - [tex]\left | z \right |[/tex] er ekvivalent med at

x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] < ( 1 - [tex]\left | z \right |[/tex] )[tex]^{2}[/tex] = 1 - 2 [tex]\left | z \right |[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] som gir

( * ) x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] < 1 - 2 [tex]\left | z \right |[/tex]

Ulikskapen ( * ) gir meining berre dersom

1 - 2 [tex]\left | z \right |[/tex] [tex]\geq[/tex] 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] abs(z )[tex]\leq[/tex] [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Innfører kulekoordinatar og får

0 < r < 1 [tex]\wedge[/tex] [tex]\frac{\pi }{3}[/tex] [tex]\leq[/tex] [tex]\theta[/tex][tex]\leq[/tex] [tex]\frac{2\pi }{3}[/tex] [tex]\wedge[/tex] 0 [tex]\leq[/tex] [tex]\phi[/tex][tex]\leq[/tex] 2[tex]\pi[/tex]






Massen M =[tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex][tex]\int_{\frac{\pi }{3} }^{\frac{2\pi }{3}}[/tex][tex]\int_{0}^{1}[/tex]r[tex]^{-\frac{3}{4}}[/tex] r sin[tex]\theta[/tex] dr d[tex]\theta[/tex]d[tex]\varphi[/tex]

[Mattebruker]

Ser no at vi har symmetri om xy-planet. Elles får vi

0 [tex]<[/tex] r [tex]<[/tex] 1 - [tex]\left | z \right |[/tex] = 1 - cos[tex]\theta[/tex]

Det gir total masse

M = 2 [tex]\cdot[/tex] [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex] [tex]\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}[/tex][tex]\int_{0}^{1 - cos\theta }[/tex] [tex]\rho ( r )[/tex] r sin[tex]\theta[/tex] dr d[tex]\theta[/tex] d[tex]\phi[/tex]

[Mattebruker]

Føler at det er noko som skurrar når eg brukar sfæriske polarkoordinatar. Trur heller at sylinderkoordinatar er eit meir eigna verktøy for å løyse dette integralet:

Volumelementet dV = r dr dz d[tex]\phi[/tex]

Tettleiken [tex]\rho[/tex]( r , z ) = ( r[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] )[tex]^{-\frac{3}{4}}[/tex]

Samla masse

M = 2[tex]\cdot[/tex][tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex] [tex]\int_{0}^{\frac{1}{2}}[/tex] [tex]\int_{0}^{1 - z}[/tex] [tex]\rho[/tex]( r , z ) r dr dz d[tex]\phi[/tex]

[Mattebruker]

Vedk. sylinderkoordinatar: x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] = r[tex]^{2}[/tex]

Storleiken r viser avstanden frå z-aksen til punkt P( x , y , z ) i rommet ( legemet T ).

Ulikskapen

x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] < 1 - [tex]\left | z \right |[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]


r [tex]<[/tex] [tex]\sqrt{1 - 2z}[/tex] (z [tex]\geq[/tex] 0 )


Ved innsetjing i integralet ( sjå førre innlegg ) får vi

Samla masse M = 2[tex]\cdot[/tex][tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex][tex]\int_{0}^{\frac{1}{2}}[/tex][tex]\int_{0}^{\sqrt{1 - 2z}}[/tex] [tex]\rho[/tex]( r , z ) r dr dz d[tex]\phi[/tex]

Kjenner meg rimeleg trygg på dette trippelintegralet fører fram til rett svar.

Du som les dette innlegget , må gjerne kome med innvendingar.

[josi]

Skal det ikke stå:

$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} < 1 - \left | z\right | => r < \sqrt{1 - 2z}, (z >0)$?

[dizzy]

Hva med:

4*(theta=0..2*Pi,phi=0..Pi/4,rho=0..1/(cos(phi)+1)gir M=8*Pi/3*(4-2*sqrt(2))

[Dissy]

2 og ikke 4 og derfor M delt på 2!

[Mattebruker]

Josi Du har heilt rett ! Gløymde å plassere ( x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] ) under rotteiknet.
Elles meiner eg at z kan vere lik null ( gir punktmengda ( x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] < 1 ) i xy-planet ).

[Freia]

Prøvde på denne selv, stemmer (3/4)*Pi?