l'hopital oppgave

[Maoam]

Hei Jeg sitter med en oppgave der vi skal bruke l'hopital. Oppgaven inneholder kvadratrot over brøkstrek. Jeg sliter med denne oppgaven. Hvis noen kunne hjulpet meg igang vertfall, så hadde jeg satt pris på det. Hvordan er det best å håndtere oppgaver som inneholder kvadratrot? Som dere ser på bildet har jeg prøvd litt forskjellige "startmetoder" men alle har ført til at jeg bare må viske ut det jeg har gjort pga jeg kommer ikke frem til svaret.

[Nebuchadnezzar]

Tja du er på god vei! I din utregning så har du gjort følgede

$
\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + x^4}}{x - 3x^2}
= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + x^4}/x^2}{1/x - 3}
= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + x^4}/x^2}{0 \color{red}{- 3}}
$

I din utregning ser det ut som $-3$ forsvinnger / blir til $1$

For å fullføre utregningen kan du bruke at $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$ og at $x^2 = \sqrt{x^4}$ ser du hvordan du nå kommer i mål?

[Maoam]

Ja jeg tror jeg forsto det litt. Er det lov å gjøre oppgaven slik? Nå har jeg prøvd å bruke de tipsene du ga meg tidligere. Er det altså slik at i denne oppgave skal/kan vi ikke bruke l'hopital?
Takk for eventuelle rettelser på oppgaven, hvis jeg har gjort noe på fremgangs metoden som jeg ikke har lov til.

[josi]

Ser helt riktig ut!
Men hvor er bruken av l`hopital?

[Maoam]

Ja det er akkurat det haha. Jeg brukte ikke 'hopital i denne oppgaven. Hvor var det jeg kunne brukt den? Eller var det slik at 'hopital ikke skulle brukes i denne oppgaven?

[Kristian Saug]

Hei,

Nei, her når man ikke i mål med L'Hopital

Ved å derivere teller og nevner hver for seg og sette inn x går mot uendelig, fungerer det ikke.

[Maoam]

Takk for forklaringen Jeg startet tidligere med å derivere, men jeg så fort at det kom til å bli et problem haha

[Nebuchadnezzar]

Det er mulig å bruke L'hôpital for å løse oppgaven.Dersom du går igjennom den smertefulle derivasjonen og faktoriserer ender du opp med

$ \hspace{1cm}
\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x^4 + 1}}{x - 3x^2} \left[\frac{\infty}{\infty}\right]= \lim_{x\to\infty} \frac{2 x^3}{(1 - 6 x)\sqrt{x^4 + 1}} = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{\frac{(1 - 6x)}{x}\frac{\sqrt{x^4 + 1}}{x^2}} =
\lim_{x\to\infty} \frac{2}{(\frac{1}{x} - 6)\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}
$

Hvor vi ser at vi får samme svaret som før. Men merk at derivasjonen og faktoriseringen er vanskeligere å gjøre enn metoden du valgte.
Så det er ikke umulig å bruke L'Hôpital, det er bare ikke det mest fornuftige valget her.

Som ett spørsmål til deg kan jo jeg spørre hva er det med den opprinnelige grenseverdien som gjør at å bruke L'Hôpital blir vanskelig?

[Kristian Saug]

Hei,

(x - x^3)' er ikke lik (1 - 6x) !
det er (1 - 3x^2)

da får du (1/x - 3x) under brøkstreken istedenfor (1/x - 6),
og (1/x - 3x) er ikke lik -6 når x går mot uendelig, som du trenger for å få -1/3 til sluttsvar!

[Nebuchadnezzar]

Hei, takk for at du påpekte feilen i innlegget mitt. Feilen var heldigvis ikke at jeg hadde derivert feil, men at en skrivefeil hadde sneket seg inn når jeg skrev inn den opprinnelige grenseverdien. Kanskje du og burde ta en nøyere titt på oppgaven trådstarter spurte om før du grovt anklager meg for å ikke kunne derivere :p Ellers kan det og opprette en brukerpofil slik at du og kan endre dine egne innlegg være ett godt tips.

[Kristian Saug]

!!?

Nei, da tok du det tungt! Alle kan gjøre en slurvefeil! Både du og jeg. Og du deriverte bare ett ledd en gang for mye. Fort gjort. Jeg er ikke i det minste tvil om at du kan derivere! Men i dette tilfellet førte jo ikke l'Hopital frem...

Jeg har sett på oppgaven meget vel og løst den.

Og har bare kommentert en slurvefeil du gjorde. Ikke "grovt anklaget" deg. Det viktige her er at eleven til slutt får rett input.

[Kristian Saug]

Ja,

Så gjorde jeg like godt en feil! Ser jo at du bare hadde skrevet av oppgaven feil. Men så gjort rett videre. Du har jo rett, l'Hopital går greit på denne oppgaven. Men var ikke nødvendig. Dog etterspurt.

Vi får hjelpe elevene videre!