Solar Plexsus » 07/09-2019 16:52
Ble først oppmerksom på denne julenøtten i dag, og fant den såpass interessant at jeg har har grublet og funnet følgende løsning av denne mye omtalte julenøtten:
La $k$, $p$ og $x \leq y \leq z$ være hhv. klokkerens, prestens og de tre kvinnenes alder i år. Ut fra opplysningene gitt i oppgaveteksten skal vi finne de triplene $(x,y,z)$ som tilfredsstiller
$(1) \;\; xyz = 2450$,
$(2) \;\; x + y + z = 2k$,
$(3) \;\; x \leq y \leq z < p$.
Ettersom klokkeren ikke fant en entydig løsning før han fikk opplysningen om at presten er eldst av de fem, betyr det at finnes to forkjellige tripler $(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)$ og $(x,y,z)=(x_2,y_2,z_2)$, der $z_1 \leq z_2$, som tilfredsstiller (1)-(2). (Her har jeg utelatt (3) fordi klokkeren får vite at $p>z$ først etter å ha snakket med presten dagen etter sistnevnte ga klokkeren utfordringen med å bestemme de tre kvinnenes alder).
Spørsmålet er nå hvordan klokkeren kan eliminere en av disse to triplene som løsning av problemet etter å ha fått vite av presten at $z_1<p$.
Dersom $(x,y,z)=(x_2,y_2,z_2)$ tilfredsstiller (1)-(2), betyr det at $z_2<p$ ifølge (3), som igjen innebærer at også $(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)$ tilfredsstiller (1)-(3) siden $z_2 \geq z_1$. Så i dette tilfellet står vi igjen med to løsninger av problemet. Herav følger at (siden problemet skal ha en entydig løsning), må kvinnenens alder være $x_1,y_1,z_1$ år og at $p \leq z_2$. Dermed må $z_1<p$, som betyr at
$(4) \;\; z_1 < p \leq z_2$.
Skal prestens alder $p$ være entydig, må det være kun en verdi av $p$ som tilfredsstiller (4). Dermed må
$(5) \;\; z_2 = z_1+1 = p$.
Fra (1) får vi at $z_1$ og $z_2$ er divisorer i 2450. I og med at $z_2=z_1+1$, er største felles divisor for $z_1$ og $z_2$ lik 1, som igjen betyr at $z_1z_2 \mid 2450$, i.e.
$(6) \;\; z_1(z_1 + 1) \mid 2450 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7^2$.
Av (6) følger at $z_1(z_1 + 1) \leq 2450 = 49 \cdot 50$, som impliserer at $z_1 \leq 49$ og $z_1=49$ tilfredstiller (6).
Anta at $z_1<49$. Da må ${\textstyle z_1(z_1+1) \leq \frac{2450}{2}=35^2}$ ifølge (6), som gir $z_1 \leq 34$. Ved å kombinere (1) og (3) får vi at $z_1^3 \geq 2450$, som gir $z_1 \geq 14$. Dermed har vi at
$(7) \;\; 14 \leq z_1 \leq 34$.
Ved hjelp av (6) finner vi at $z_1(z_1 + 1)$ verken deler 3 eller 4, som betyr at $z_1 \equiv 1 \!\!\!\! \pmod{3}$ og $z_1 \equiv 1,2 \!\!\!\! \pmod{4}$, hvilket innebærer at
$(8) \;\; z_1 \equiv 1,10 \!\!\!\! \pmod{12}$.
Ved å kombinere (7) og (8) får vi at
$(9) \;\; z_1 \in \{22,25,34\}$.
Ifølge (6) kan $z_1$ kun ha primtallsdivisorene 2, 5 eller 7, som betyr at $z_1=25$ er eneste mulighet ifølge (9). Dette medfører at $z_1+1 = 26 = 2 \cdot 13$, som er umulig ifølge (6).
Summa summarum, den eneste løsningen av (6) er $z_1=49$.
Konklusjon: Prestens alder er $z_2=z_1+1=49+1=50$ år.
Kommentar: Skal vi bestemme de to yngste kvinnenes alder $x_1,y_1$ og klokkerens alder $k$, må vi løse likningssystemet
$(10) \;\; x_1 + y_1 + 49 = 2k$,
$(11) \;\; x_1y_1 = 50$,
$(12) \;\; x_2 + y_2 + 50 = 2k$,
$(13) \;\; x_2y_2=49$.
Ved å kombinere (11) og (13) med (3) som uttrykker at $x_1 \leq y_1 \leq 49$ og $x_2 \leq y_2$ finner vi at $(x_1,y_1) \in \{(5,10),(2,25)\}$ og $(x_2,y_2) \in \{(7,7),(1,49)\}$. Herav følger at $x_1+y_1 \in \{15,27\}$ og $x_2+y_2 \in \{14,50\}$. Dette sett i lys av at $(x_1+y_1) - (x_2+y_2) = 1$ (får vi ved å trekke likning (12) fra likning (10)) gir oss $(x_1+y_1,x_2+y_2)=(15,14)$, der $(x_1,y_1)=(5,10)$ og $(x_2,y_2)=(7,7)$. Dermed resulterer ifølge (2) i at
$2k = x_1+y_1+49 = 15 + 49 = 64 = 2 \cdot 32$,
i.e. $k=32$.
Summa summarum, de tre søstrene er 5, 10 og 49 år, presten er 50 år og klokkeren er 32 år.