Skikkelig julenøtt

[Klasen offline]

Man må forstå at opplysningen om at presten er eldst har betydning.
Klokkeren klarte først ikke å regne ut svaret fordi det var mange mulige svar. Hvis opplysningen om at presten er eldst gir kun ett mulig svar, så er svaret at kvinnene er henholdsvis 7,14, og 25 år, mens klokkeren er 23 år. Da er presten 26 år. I alle andre kombinasjoner kan presten være hva som helst over en viss alder (avhengig av alderen på de andre).
Klokkeren trenger ikke engang vite hvor gammel presten er, bare at presten=26 år er den eneste kombinasjonen som gir ett unikt svar.

[Solar Plexsus]

Ble først oppmerksom på denne julenøtten i dag, og fant den såpass interessant at jeg har har grublet og funnet følgende løsning av denne mye omtalte julenøtten:


La $k$, $p$ og $x \leq y \leq z$ være hhv. klokkerens, prestens og de tre kvinnenes alder i år. Ut fra opplysningene gitt i oppgaveteksten skal vi finne de triplene $(x,y,z)$ som tilfredsstiller

$(1) \;\; xyz = 2450$,

$(2) \;\; x + y + z = 2k$,

$(3) \;\; x \leq y \leq z < p$.

Ettersom klokkeren ikke fant en entydig løsning før han fikk opplysningen om at presten er eldst av de fem, betyr det at finnes to forkjellige tripler $(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)$ og $(x,y,z)=(x_2,y_2,z_2)$, der $z_1 \leq z_2$, som tilfredsstiller (1)-(2). (Her har jeg utelatt (3) fordi klokkeren får vite at $p>z$ først etter å ha snakket med presten dagen etter sistnevnte ga klokkeren utfordringen med å bestemme de tre kvinnenes alder).

Spørsmålet er nå hvordan klokkeren kan eliminere en av disse to triplene som løsning av problemet etter å ha fått vite av presten at $z_1<p$.

Dersom $(x,y,z)=(x_2,y_2,z_2)$ tilfredsstiller (1)-(2), betyr det at $z_2<p$ ifølge (3), som igjen innebærer at også $(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)$ tilfredsstiller (1)-(3) siden $z_2 \geq z_1$. Så i dette tilfellet står vi igjen med to løsninger av problemet. Herav følger at (siden problemet skal ha en entydig løsning), må kvinnenens alder være $x_1,y_1,z_1$ år og at $p \leq z_2$. Dermed må $z_1<p$, som betyr at

$(4) \;\; z_1 < p \leq z_2$.

Skal prestens alder $p$ være entydig, må det være kun en verdi av $p$ som tilfredsstiller (4). Dermed må

$(5) \;\; z_2 = z_1+1 = p$.

Fra (1) får vi at $z_1$ og $z_2$ er divisorer i 2450. I og med at $z_2=z_1+1$, er største felles divisor for $z_1$ og $z_2$ lik 1, som igjen betyr at $z_1z_2 \mid 2450$, i.e.

$(6) \;\; z_1(z_1 + 1) \mid 2450 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7^2$.

Av (6) følger at $z_1(z_1 + 1) \leq 2450 = 49 \cdot 50$, som impliserer at $z_1 \leq 49$ og $z_1=49$ tilfredstiller (6).
Anta at $z_1<49$. Da må ${\textstyle z_1(z_1+1) \leq \frac{2450}{2}=35^2}$ ifølge (6), som gir $z_1 \leq 34$. Ved å kombinere (1) og (3) får vi at $z_1^3 \geq 2450$, som gir $z_1 \geq 14$. Dermed har vi at

$(7) \;\; 14 \leq z_1 \leq 34$.

Ved hjelp av (6) finner vi at $z_1(z_1 + 1)$ verken deler 3 eller 4, som betyr at $z_1 \equiv 1 \!\!\!\! \pmod{3}$ og $z_1 \equiv 1,2 \!\!\!\! \pmod{4}$, hvilket innebærer at

$(8) \;\; z_1 \equiv 1,10 \!\!\!\! \pmod{12}$.

Ved å kombinere (7) og (8) får vi at

$(9) \;\; z_1 \in \{22,25,34\}$.

Ifølge (6) kan $z_1$ kun ha primtallsdivisorene 2, 5 eller 7, som betyr at $z_1=25$ er eneste mulighet ifølge (9). Dette medfører at $z_1+1 = 26 = 2 \cdot 13$, som er umulig ifølge (6).
Summa summarum, den eneste løsningen av (6) er $z_1=49$.

Konklusjon: Prestens alder er $z_2=z_1+1=49+1=50$ år.

Kommentar: Skal vi bestemme de to yngste kvinnenes alder $x_1,y_1$ og klokkerens alder $k$, må vi løse likningssystemet

$(10) \;\; x_1 + y_1 + 49 = 2k$,

$(11) \;\; x_1y_1 = 50$,

$(12) \;\; x_2 + y_2 + 50 = 2k$,

$(13) \;\; x_2y_2=49$.

Ved å kombinere (11) og (13) med (3) som uttrykker at $x_1 \leq y_1 \leq 49$ og $x_2 \leq y_2$ finner vi at $(x_1,y_1) \in \{(5,10),(2,25)\}$ og $(x_2,y_2) \in \{(7,7),(1,49)\}$. Herav følger at $x_1+y_1 \in \{15,27\}$ og $x_2+y_2 \in \{14,50\}$. Dette sett i lys av at $(x_1+y_1) - (x_2+y_2) = 1$ (får vi ved å trekke likning (12) fra likning (10)) gir oss $(x_1+y_1,x_2+y_2)=(15,14)$, der $(x_1,y_1)=(5,10)$ og $(x_2,y_2)=(7,7)$. Dermed resulterer ifølge (2) i at

$2k = x_1+y_1+49 = 15 + 49 = 64 = 2 \cdot 32$,

i.e. $k=32$.

Summa summarum, de tre søstrene er 5, 10 og 49 år, presten er 50 år og klokkeren er 32 år.

[Pidern offline]

Fikk denne julenøttene på Facebook i dag.
Jeg løste den på følgende måte:
Faktorisering av 2450=2x5x5x7x7
Dette gir følgende tre alternativer på alder på damene (alder på klokker i parentes:
2x25x49 (38)
2x35x35 (36)
5x10x49 (32)
5x7x70 (41)
5x14x35(27)
7x7x50 (32)
7x10x35 (26)
7x14x25 (23)

Dette gir klokkeren ingen muligheter i forhold til å tippe alder på presten selv om han selvsagt vet sin egen alder.
Når da presten kommer med sin tilleggsopplysning «dagen etter» gir dette klokkeren mulighet til å se prestens alder på følgende måte:
Det er to alternativer som gir samme alder på klokkeren (32) og hvor det er kun 1. års forskjell på alder til eldste kvinne (49 og 50).
Ut fra dette kan klokkeren si at alderen til presten er 50 år. Dette med følgende begrunnelse. Presten var den eldste dagen de var i kirken (han sier «av de fem «var» jeg den eldste). Om kvinnen da var 49 må hun være 50 dagen etter og således like gammel som presten. Om presten hadde vært mer enn 50 år hadde han også vært eldst dagen etter.
Dette kan man også si om damen hadde vært 50 og presten 51, men da ville det ikke være mulig å gi en alder ut fra siste tipset. I det tilfellet må man derfor se bort fra «dagen før» tolkningen.