Delelighet

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Delelighet

Innlegg Gustav » 13/07-2019 23:41

For forskjellige heltall $x,y,z$, vis at $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$ er delelig med $5(x-y)(y-z)(z-x)$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4301
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Delelighet

Innlegg Solar Plexsus » 14/07-2019 14:55

Ved å sette

$(1) \;\; (a,b,c) = (x-y,y-z,z- y)$,

får vi $abc \neq 0$ (ettersom $x,y,z$ er ulike heltall) og

$(2) \;\; a + b + c = 0$.

Ved å kombinere (2) med binomialformelen blir resultatet

$a^5 + b^5 + c^5 = a^5 + b^5 - (a + b)^5 = -5ab(a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3) = -5ab[(a + b)(a^2 - ab + b^2) + 2ab(a + b)] = -5ab(a + b)(a^2 + ab + b^2)$,

som ifølge ((1) betyr at

$a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(a^2 + ab + b^2)$.

Følgelig er $a^5 + b^5 + c^5$ delelig med $5abc$, hvilket iht. (1) gir oss

$5(x - y)(y - z)(z - x) \mid (x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5$.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1667
Registrert: 03/10-2005 11:09

Re: Delelighet

Innlegg Gustav » 15/07-2019 11:53

Ser bra ut. Gjorde den i prinsippet på samme måte, men tok utgangspunkt i at $0=(a+b+c)^5$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4301
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 6 gjester