2nd-order nonlinear ODE 2

[Janhaa]

solve:

[tex]\large yy' = y''[/tex]

[Mattebruker]

Hint: yy' = [tex]\frac{1}{2}[/tex] ( y[tex]^{2}[/tex] )'

[Mattebruker]

Får eit arctan-integral og endar opp med

y = [tex]\sqrt{2a}[/tex][tex]\cdot[/tex]tan([tex]\frac{a(x + b)}{\sqrt{2}}[/tex]), der a og b er konstantar

Spent på om dette stemmer !

[Janhaa]

Får eit arctan-integral og endar opp med

y = [tex]\sqrt{2a}[/tex][tex]\cdot[/tex]tan([tex]\frac{a(x + b)}{\sqrt{2}}[/tex]), der a og b er konstantar

Spent på om dette stemmer !

ikke sikker, har du derivert og dobbelt-derivert funksjonen din og satt inn i opprinnelig ODE?

mitt forslag:

[tex]yy' = y'',\,\,u=y'=\frac{dy}{dx}\\ u'=y''\\ u'=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dy}u\\ \\ yu=u'\\ yu = \frac{du}{dy}u\\ \\ y\,dy= du\\ \\ \frac{1}{2}y^2=u=\frac{du}{dy}\\[/tex]


[tex]\int y^{-2}\,dy=\frac{1}{2}\int \,dx\\ =>\\ y=-\frac{2}{x}+c[/tex]


hvilket passer til nevnte ODE over.

[Mattebruker]

Vedk. mi ( Mattegjest ) løysing:

Har samanlikna V.S. ( y y' ) og H.S. ( y'' ). Da viser det seg at H.S. kjem ut med ein faktor

[tex]\sqrt{a}[/tex] " for mykje " samanlikna med V.S. Elles er V. S. = H. S.


Vedk. Janhaa si løysing:


V.S. = H.S. dersom og berre dersom konstantleddet c = 0 ( tek atterhald om feiltolking frå mi side )

[Janhaa]

Vedk. mi ( Mattegjest ) løysing:
Har samanlikna V.S. ( y y' ) og H.S. ( y'' ). Da viser det seg at H.S. kjem ut med ein faktor
[tex]\sqrt{a}[/tex] " for mykje " samanlikna med V.S. Elles er V. S. = H. S.

ok, bra... da har vi begge kommet i mål...

[josi]

Skal det ikke stå u = dy/dx i tredje siste linje, og ikke u = du/dy?

Og blir ikke løsningen y = -2/(x+c) og ikke y = -2/x +c?

[Janhaa]

Skal det ikke stå u = dy/dx i tredje siste linje, og ikke u = du/dy?

Og blir ikke løsningen y = -2/(x+c) og ikke y = -2/x +c?

ser ut til å stemme...

[Mattebruker]

V.S. i den opphavelege likninga kan skrivast [tex]\frac{1}{2}[/tex] (y[tex]^{2}[/tex])'


Det betyr at den opph. likninga er ekvivalent med


[tex]\frac{1}{2}[/tex] (y[tex]^{2}[/tex])' = y''


Når vi integrerer opp begge sider, får vi


[tex]\frac{1}{2}y^{2}[/tex] + a = y' = [tex]\frac{dy}{dx}[/tex] ( a = konstant )

Løysinga som Janhaa presenterer har , etter mi meining , som føresetnad at konstantleddet a = 0


Da vil vi heller ikkje ende opp med den allmenne løysinga på difflikninga.


Vil gjerne ha tilbakemelding på ovanståande påstand.

[Mattebruker]

For å få ei fullstendig løysing av difflikninga ( y y' = y'' ) , må vi skilje mellom tre ulike verdiar av konstanleddet a ( jamfør mitt førre innleg) :

1) a = 0 ( gir løysinga til Janhaa )

2) a > 0 ( gir løysinga til mattegjest )

3) a < 0 ( gir eit ln-integral )

[josi]

Er det ikke en integrasjonskonstant som her implisitt settes lik null, (slik mattegjest påpeker)?

ydy = du

1/2y^2 = u , skulle det altså ikke vært: 1/2y^2 = u + a?