Medium Algebra
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Anta at $4f(a)=f(b)$, der $a,b \in \mathbb{Z}_{>0}$. Vi fullfører kvadratene og faktoriserer:Gustav skrev:La $f(x)=x^2+x$. Vis at ligningen $4f(a)=f(b)$ ikke har noen løsninger i positive heltall $a,b$.
\begin{align*}
4(a^2 + a) & = b^2 + b \\
(2a+ 1)^2 - 1 & = (b+\frac12)^2 - \frac14 \\
(2a+1)^2 - (b+\frac12)^2 & = \frac34 \\
\left(2a + 1 + b + \frac12\right)\left(2a + 1 - b - \frac12\right) & = \frac34 \\
\left(4a + 2b + 3\right)\left(4a - 2b + 1\right) & = 3, \\
\end{align*}
hvilket er en selvmotsigelse, ettersom $4a + 2b + 3 > 3$ og $4a - 2b + 1 \in \mathbb{Z}$.