areal

[mattenøtta]

Når jeg skal finne arealet av en trekant i rommet, hvordan skal jeg vite hva som er grunnlinje og hva som er høyde når jeg ikke kan bruke hjelpemidler og ikke har tid til å lage noen nøyaktig tegning?
En oppgave som jeg lurte på med dette er:
finn arealet av trekanten når A(-1,0,2), B(2,-1,3) og C(4,0,1)?

[Aleks855]

Du kan selv velge hva som skal være grunnlinja i en trekant. Du er kanskje vant til å se en figur, og vi velger gjerne den linja som er mest horisontal. Men det er helt arbitrært.

Bare velg en av linjene som grunnlinje. Høyda vil være maks avstand fra denne linja til det punktet du IKKE valgte å ha grunnlinje mot.

Eksempelvis kan du la AB være grunnlinja, og C være toppen.

Eller du kan la BC være grunnlinja, og A være toppen.

Eller du kan la AC være grunnlinja, og B være toppen.

[mattenøtta]

Okei, og så vil høyden være z-koordinaten til det punktet jeg ikke valgte?

[Aleks855]

Nei, det vil være lengda av linja som står vinkelrett på grunnlinja og går til det siste punktet. Akkurat som i andre trekanter.

[mattenøtta]

Nei, det vil være lengda av linja som står vinkelrett på grunnlinja og går til det siste punktet. Akkurat som i andre trekanter.

Aaah, takk!

[mattenøtta]

Har et spørsmål til til dette, hehe:
Hvordan skal jeg finne høyden når jeg ikke vet hvor på grunnlinja normalen fra toppunktet treffer?
Har nemlig problemer med å finne arealet av en trekant der A(1,-1,0), B(2,2,0) og C(4,6,0). Dette skal sammen med T(4,2,5) danne en pyramide.

[Kay]

For trekantens skyld kan du jo faktisk si at

[tex]A_{\triangle}=\frac{1}{2}|\vec{AB}||\vec{AC}|\sin\left ( \arccos \left (\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|} \right ) \right )[/tex]

Dette stammer fra arealsetningen og definisjonen av skalarproduktet.

[mattenøtta]

For trekantens skyld kan du jo faktisk si at

[tex]A_{\triangle}=\frac{1}{2}|\vec{AB}||\vec{AC}|\sin\left ( \arccos \left (\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|} \right ) \right )[/tex]

Dette stammer fra arealsetningen og definisjonen av skalarproduktet.

Takk, men har du noen enklere måte å løse problemet på? Vi har ikke kommet såpass langt at vi har begynt å lære skalarproduktet og arealsetningen

[Nebuchadnezzar]

You know that $$AB \times AC$$ is a vector perpendicular to the plan $ABC$ such that $|AB \times AC|= \text{Area of the parallelogram} \ ABA’C$. Thus this area is equal to $\frac{1}{2} |AB \times AC|$.



From $AB = (x_2 -x_1, y_2-y_1)$; $AC = (x_3-x_1, y_3-y_1)$, we deduce then

Area of $\Delta ABC = \frac12 [(x_2-x_1)(y_3-y_1)- (x_3-x_1)(y_2-y_1)]$