Helt korrekt dette ja, som Gustav påpeker. Løste den likt selvalund skrev: Er dette rett? Var litt uventet svar...
Skal [tex]P[/tex] ha tre "primnullpunkt", [tex]p_1,\: p_2,\: p_3[/tex], må [tex]P(x)=-2(x-p_1)(x-p_2)(x-p_3)=-2x^3+48x^2+k[/tex]
Sammenligning av koeffisienter viser at dette ikke går opp for x-leddet.
[tex]-2(p_1p_2+p_2p_3+p_3p_1)\neq 0[/tex] for alle primtall [tex]p_1,\:p_2,\:p_3[/tex].
Derfor er der ingen verdier av [tex]k[/tex] slik at [tex]P[/tex] har tre primtallsrøtter.
Regner med at dette kan generaliseres? Et forsøk i alle fall:
La $P(x)$ være et polynom av $n$-te grad slik at $P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_kx^k$. Av restfaktorteoremet (remainder factor theorem, litt usikker på rett oversettelse her) følger det at $P(x)$ kan skrives som $a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n)$, der $r_1,r_2,\dots,r_n$ er røttene til $P(x)$, og $a_n$ er koeffisienten til det leddet av høyeste grad.
Hvis vi først ser på polynomer av litt mindre grad, ser vi et mønster;
$P(x)$ har grad $2$:
$$P(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0 = a_n(x-r_1)(x-r_2) = a_2(x^2-r_1x-r_2x+r_1r_2) = a_2x^2 - a_2x(r_1+r_2) + a_2(r_1r_2)$$
Hvis vi nå sammenligner koeffisientene ser vi at $a_1x = -a_2x(r_1+r_2) \Longrightarrow r_1+r_2 = -\frac{a_1}{a_2}$, samt at $r_1r_2 = \frac{a_0}{a_2}$
$P(x)$ har grad $3$:
$$P(x) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 = a_3(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)=a_3(x^3-x^2(r_1+r_2+r_3)+x(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)-r_1r_2r_3)$$
Ved sammenligning av koeffisientene følger det nå at $a_2x^2=-a_3x^2(r_1+r_2+r_3) \Longrightarrow r_1+r_2+r_3 = -\frac{a_2}{a_3}$, og at $a_1x = a_3x(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3) \Longrightarrow r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3 = \frac{a_1}{a_3}$, og til slutt at $r_1r_2r_3=-\frac{a_0}{a_3}$
$P(x)$ har grad $4$:
$$P(x) = a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=a_4(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)=a_4(x^4-x^3(r_1+r_2+r_3+r_4)+x^2(r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3+r_1r_4+r_2r_4+r_3r_4)-x(r_1^2r_2^2r_3r_4+r_2^2r_3^2r_1r_4+r_1^2r_3^2r_2r_4)+r_1r_2r_3r_4)$$
Regner med at mønsteret forstås på sammenligning av koeffisienter nå.
Jeg klarer ikke å se et mønster på annet enn summen av røttene og produktet av røttene;
$$\text{Produkt av røtter for polynom av n-te grad} = (-1)^n\frac{a_0}{a_n} \\
\text{Sum av røtter for polynom av n-te grad} = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$$
Er det noen flere sammenhenger enn dette?
Bare et kjapt spørsmål angående denne; trenger røttene å være distinkte? Telles for eksempel et dobbelt nullpunkt som en rot, eller som to røtter? For å ta et eksempel, så har OYV sitt løsningsforslag et dobbelt nullpunkt i $x=16$. Hvis røttene ikke trenger å være distinkte, altså at et dobbelt nullpunkt teller som to røtter, er en annen triviell løsning $k=0$, siden $-2x^3+48x^2=x^2(-2x+48)$, som vil gi dobbel nullpunkt i $x=0$, og et distinkt nullpunkt i $x=24$, hvilket begge er heltallige.Oppfølger: Samme problemstilling, bortsett fra at polynomet har tre heltallige røtter.
Edit: OYV fant visst den samme trivielle løsningen 3 minutter før meg