Partiell derivasjon (kritiske punkter)

[elite]

Jeg har en partiell derivasjon oppgave hvor jeg skal finne de kritiske punktene. Sliter litt med å forstå hvordan jeg skal komme frem til løsningen så lurte på om noen kunne forklart/vist litt step by step.

[tex]f(x,y)=2x^{2}y-x^{4}-2y^{3}[/tex]

etter å derivert sitter jeg igjen med.

[tex]f'(x)=4xy-4x^{3}=0[/tex]
og
[tex]f'(y)=2x^{2}-6y^{2}=0[/tex]

videre vet jeg ikke helt hvordan oppgaven skal løses for å finne de kritiske punktene?

[Kay]

[tex]f(x,y)=2x^2y-x^4-2y^3[/tex]

[tex]\frac{\partial }{\partial x}f(x,y) = 4xy-4x^3[/tex]

[tex]\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)=2x^2-6y^2[/tex]

Sett de to likningene opp som likningssett

[tex]f_x=0[/tex]

[tex]f_y=0[/tex]

Kanskje et litt kronglete likningssett, men tar jeg ikke feil skal du få ut verdiene [tex]x=\frac{1}{\sqrt{3}}, y=\frac{1}{3}[/tex] og [tex]x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, y=\frac{1}{3}[/tex]

og iom. at y veridene er de samme kan begge tolkes som lokale maksimum. Plugger du inn koordinatene fra svarene i [tex]f(x,y)[/tex] skal begge gi svaret [tex]\frac{1}{27}[/tex]

[DennisChristensen]

[tex]f(x,y)=2x^2y-x^4-2y^3[/tex]

[tex]\frac{\partial }{\partial x}f(x,y) = 4xy-4x^3[/tex]

[tex]\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)=2x^2-6y^2[/tex]

Sett de to likningene opp som likningssett

[tex]f_x=0[/tex]

[tex]f_y=0[/tex]

Kanskje et litt kronglete likningssett, men tar jeg ikke feil skal du få ut verdiene [tex]x=\frac{1}{\sqrt{3}}, y=\frac{1}{3}[/tex] og [tex]x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, y=\frac{1}{3}[/tex]

og iom. at y veridene er de samme kan begge tolkes som lokale maksimum. Plugger du inn koordinatene fra svarene i [tex]f(x,y)[/tex] skal begge gi svaret [tex]\frac{1}{27}[/tex]

Du har satt opp riktig likningssett, men mistet en løsning.

Løsningsforslag:

Vi ønsker å løse $$\begin{align}& \frac{\partial }{\partial x}f(x,y) = 4xy-4x^3 = 4x\left(y - x^2\right) = 0;\\ & \frac{\partial }{\partial y}f(x,y)=2x^2-6y^2 = 2\left(x^2 - 3y^2\right) = 0.\end{align}$$

Fra $(1)$ ser vi at $x=0$ eller $y=x^2$. Hvis $x=0$ sier $(2)$ at $y=0$, så $(x,y) = (0,0)$ er vårt første kritiske punkt. Hvis $x\neq 0$ vet vi fra $(1)$ at $y=x^2$. Substituerer vi dette inn i $(2)$ får vi at $y - 3y^2 = y(1 - 3y) = 0$. Vi trenger at $y\neq 0$ (ellers ville vi fått $x=0$ og endt opp med løsningen vi allerede har funnet), så $y = \frac13$. Dermed får vi to nye kritiske punkter: $(x,y) = (\frac{\sqrt{3}}{3},\frac13)$ og $(x,y) = (-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac13)$.

[Kay]

[tex]f(x,y)=2x^2y-x^4-2y^3[/tex]

[tex]\frac{\partial }{\partial x}f(x,y) = 4xy-4x^3[/tex]

[tex]\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)=2x^2-6y^2[/tex]

Sett de to likningene opp som likningssett

[tex]f_x=0[/tex]

[tex]f_y=0[/tex]

Kanskje et litt kronglete likningssett, men tar jeg ikke feil skal du få ut verdiene [tex]x=\frac{1}{\sqrt{3}}, y=\frac{1}{3}[/tex] og [tex]x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, y=\frac{1}{3}[/tex]

og iom. at y veridene er de samme kan begge tolkes som lokale maksimum. Plugger du inn koordinatene fra svarene i [tex]f(x,y)[/tex] skal begge gi svaret [tex]\frac{1}{27}[/tex]

Du har satt opp riktig likningssett, men mistet en løsning.

Løsningsforslag:

Vi ønsker å løse $$\begin{align}& \frac{\partial }{\partial x}f(x,y) = 4xy-4x^3 = 4x\left(y - x^2\right) = 0;\\ & \frac{\partial }{\partial y}f(x,y)=2x^2-6y^2 = 2\left(x^2 - 3y^2\right) = 0.\end{align}$$

Fra $(1)$ ser vi at $x=0$ eller $y=x^2$. Hvis $x=0$ sier $(2)$ at $y=0$, så $(x,y) = (0,0)$ er vårt første kritiske punkt. Hvis $x\neq 0$ vet vi fra $(1)$ at $y=x^2$. Substituerer vi dette inn i $(2)$ får vi at $y - 3y^2 = y(1 - 3y) = 0$. Vi trenger at $y\neq 0$ (ellers ville vi fått $x=0$ og endt opp med løsningen vi allerede har funnet), så $y = \frac13$. Dermed får vi to nye kritiske punkter: $(x,y) = (\frac{\sqrt{3}}{3},\frac13)$ og $(x,y) = (-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac13)$.

Bare så vi er på samme side her, hvilken løsning er det jeg har mistet?

[DennisChristensen]

Bare så vi er på samme side her, hvilken løsning er det jeg har mistet?

$(x,y) = (0,0).$

[Kay]

Bare så vi er på samme side her, hvilken løsning er det jeg har mistet?

$(x,y) = (0,0).$

Hahaha, ja, selvfølgelig, takk skal du ha. Føler meg nesten litt teit etter å ha oversett den der

[elite]

Takk for hjelpen, det settes pris på!

[elite]

Er det mulig å be om hjelp til en lignende oppgave så jeg kanskje lærer meg partiell derivasjon en gang for alltid?

"Finn maksimal- og minimalverdiene til funksjonen"

[tex]f(x,y)=3x^{2}+y^{2}[/tex] under bibetingelsen [tex]g(x,y)=3[/tex] der [tex]g(x,y)=xy^{3}[/tex]

Det jeg har kommet frem til så langt er følgende:
[tex]f'(x)= 6x[/tex]
[tex]f'(y)= 2y[/tex]
[tex]g'(x)= y^{3}[/tex]
[tex]g'(y)= 3xy^{2}[/tex]

Bruker så lagranges metode å å får:

[tex]6x = \lambda * y^{3}[/tex] ---> ganger med (3x)
[tex]2y = \lambda * 3xy^{2}[/tex] ---> ganger med (y)

og får

[tex]18x^{2}=2y^{2}[/tex]

[tex]2(3x-y)(3x+y)=0[/tex]

Her stopper det opp for meg dessverre, så om noen kan vise meg videre utregninger for å finne maksimal- og minimalverdiene til funksjonen hadde jeg blitt veldig takknemlig

[DennisChristensen]

Er det mulig å be om hjelp til en lignende oppgave så jeg kanskje lærer meg partiell derivasjon en gang for alltid?

"Finn maksimal- og minimalverdiene til funksjonen"

[tex]f(x,y)=3x^{2}+y^{2}[/tex] under bibetingelsen [tex]g(x,y)=3[/tex] der [tex]g(x,y)=xy^{3}[/tex]

Det jeg har kommet frem til så langt er følgende:
[tex]f'(x)= 6x[/tex]
[tex]f'(y)= 2y[/tex]
[tex]g'(x)= y^{3}[/tex]
[tex]g'(y)= 3xy^{2}[/tex]

Bruker så lagranges metode å å får:

[tex]6x = \lambda * y^{3}[/tex] ---> ganger med (3x)
[tex]2y = \lambda * 3xy^{2}[/tex] ---> ganger med (y)

og får

[tex]18x^{2}=2y^{2}[/tex]

[tex]2(3x-y)(3x+y)=0[/tex]

Her stopper det opp for meg dessverre, så om noen kan vise meg videre utregninger for å finne maksimal- og minimalverdiene til funksjonen hadde jeg blitt veldig takknemlig

For det første må du passe på notasjonen din. $f = f(x,y)$ og $g=g(x,y)$ er funksjoner av to variabler, så når vi deriverer med hensyn på kun én av dem (for eksempel $x$), har vi partiell derivasjon og skriver $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),$ ikke $f'(x)$.

Som du har skrevet får vi at $6x = \lambda y^3$ og $2y = 3\lambda xy^2$ fra Lagranges metode. Multipliserer vi opp for å eliminere $\lambda$ får vi at $2(3x-y)(3x+y) = 0$ slik du har skrevet. Dermed må enten $3x - y = 0$ eller $3x + y = 0$. Vi undersøker de forskjellige mulighetene:

Hvis $3x - y = 0$ så er $y = 3x$, så fra bibetingelsen får vi at $3 = xy^3 = x\cdot (3x)^3 = 3^3x^4$. Dermed er $x^4 = 3^{-2} = \frac19$, så $x^2 = \pm \frac13$. Vi er kun ute etter reelle verdier for $x$, så $x^2 = \frac13$. Dermed får vi at $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}. \text{ }\therefore y = \pm\frac{3\sqrt{3}}{3} = \pm\sqrt{3}$. Dette gir oss to løsninger, nemlig $(x_1,y_1) = \left(\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right)$ og $(x_2,y_2) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\sqrt{3}\right)$.

Hvis derimot $3x+y = 0$ får vi at $y = -3x$, så bibetingelsen gir at $3 = xy^3 = x\cdot (-3x)^3 = -3^3x^4$. Dermed er $x^4 = -3^{-2} = -\frac19$, hvilket ikke gir noen reelle løsninger for $x$.

Til slutt ønsker vi å klassifisere løsningene vi fikk. Ettersom $$f(x_1,x_2) = f\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right) = 3\cdot\frac13 + 3 = 4 = f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\sqrt{3}\right) = f(x_2,y_2),$$ har vi at $(x_1,y_1)$ og $(x_2,y_2)$ er begge enten maksima eller minima. Ettersom eksempelvis punktet $(3,1)$ tilfredsstiller bibetingelsen og $f(3,1) = 3\cdot3^2 +1^2 = 28 \geq 4$, er begge punktene minimumspunkter, med minimumsverdi lik $4$. $f$ er ikke oppad begrenset og har ingen maksimumsverdi.

[elite]

Takk for hjelpen igjen , men bare en siste ting (som sikkert er et dumt spørsmål)

Hvordan kommer du fra [tex]y=3x[/tex] til [tex]3=xy^{3}[/tex] og hvor blir det av y?

og i klassifiseringen av løsningene, hvordan har du kommet frem til?

[tex]3*\frac{1}{3}+3=4[/tex]

[DennisChristensen]

Takk for hjelpen igjen , men bare en siste ting (som sikkert er et dumt spørsmål)

Hvordan kommer du fra [tex]y=3x[/tex] til [tex]3=xy^{3}[/tex] og hvor blir det av y?

og i klassifiseringen av løsningene, hvordan har du kommet frem til?

[tex]3*\frac{1}{3}+3=4[/tex]

$g(x,y) = 3$ er bibetingelsen vår, som må være oppfylt for alle punkter vi undersøker. Derav $3 = xy^3$.

Vi fant punktene $(x_1,y_1)$ og $(x_2,y_2)$, og ønsker å klassifisere dem. Altså ønsker vi å undersøke om de er minimumspunkter eller maksimumspunkter. Men ettersom vi fant et annet punkt (som naturligvis også oppfyller bibetingelsen) som hadde høyere $f$-verdi enn dem, kan de ikke være maksimumspunkter. De må altså være minimumspunkter.

[elite]

Jeg skjønner, takk for hjelpen!