Integral

[stensrud]

Bestem
\[\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x^2}{x^4+1}dx.\]

[Nebuchadnezzar]

Via $x \mapsto 1/x$ så er

$ \hspace{1cm}
\int_\mathbb{R} \frac{x^2}{1+x^4} \,\mathrm{d}x = \int_\mathbb{R} \frac{1}{1+x^4} \mathrm{d}x
$

Ved å legge sammen integralene får en

$ \hspace{1cm}
\int_\mathbb{R} \frac{x^2}{1+x^4} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_\mathbb{R} \frac{1+x^2}{1+x^4} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_\mathbb{R} \frac{1+1/x^2}{x^2+1/x^2} \mathrm{d}x
= \frac{1}{2} \int_\mathbb{R} \frac{1+x^2}{(x-1/x)^2+2} \mathrm{d}x
$

Substitusjonen $u \mapsto x - 1/x$ gir da $\mathrm{d}u = \left( 1 + \frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x$, slik at integralet kan skrives som

$ \hspace{1cm}
\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \frac{x^2}{1+x^4} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \frac{1}{u^2 + 2} \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2}}{2}\int_\mathbb{R} \frac{1}{y^2 + 1} \mathrm{d}y = \frac{\pi}{\sqrt{2}}
$

Etter jeg skrev dette kom jeg på at det sannsynligvis står i integrasjonsnotatene mine. Fant det igjen på side 88 http://folk.ntnu.no/oistes/Diverse/Inte ... eboken.pdf, er 93 i pedf'en. Men integralet er jo helt trivielt om en tillater seg å bruke Cauchys integrasjonsformel og enkel kompleks analyse.

EDIT: Fant og et annet bevis i notatene mine. M'en står bare for at integralet kan betraktes som en Mellin-transformasjon, ut at dette har noe å si for utregningen. Eneste som brukes er Eulers refleksjonsformel samt definisjonen av Beta-funksjonen.

[stensrud]

Jeg mener svaret skal være $\pi/\sqrt{2}$, men ellers så ser alt riktig ut. Enig i det du sier om konturintegrasjon. Gjorde den litt annerledes, så legger ved min løsning:

Kall integralet over for $I$, og merk at
\begin{align*}
I=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{x^4+1}dx&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2-i+i}{x^4+1}dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2-i}{x^4+1}dx+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i}{x^4+1}dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+i}dx+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i}{x^4+1}dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+i}dx+iI,
\end{align*}så
\[ I=\frac{1}{1-i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+i}dx. \]Men dette er bare et arctanintegral, med den generelle løsningen
\[ \int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C, \]som betyr at
\[ I=\left[\frac{1}{(1-i)\sqrt{i}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{i}}\right)\right]^\infty_{-\infty}. \]Resten er bare å sette inn grenseverdiene og merke at $\frac{1}{(1-i)\sqrt{i}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, hvoretter vi får svaret $\boxed{I=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi}$.

[Nebuchadnezzar]

Jeg mener svaret skal være $\pi/\sqrt{2}$, men ellers så ser alt riktig ut. Enig i det du sier om konturintegrasjon. Gjorde den litt annerledes, så legger ved min løsning:

Eni i det ja, blinga litt med den siste substitusjonen, skulle ha fått en kvadratrot oppe og ikke nede, og da ordenr alt seg.

Kall integralet over for $I$, og merk at
\begin{align*}
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2-i}{x^4+1}dx+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i}{x^4+1}dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+i}dx+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i}{x^4+1}dx\\
\end{align*}

Hva skjer i denne overgangen? Ser ikke helt ut som du bruker Caucys residue theorem, men kanskje det bare er meg som er trøtt.

Fant ut jeg har skrevet om omtrent det samme integralet i masteren hvor jeg bruker kompleks analyse, oi oi oi https://tinyurl.com/lmkmwl5. En får integralet ditt ved å sette $y=1$, og bruke substitusjonen $x \mapsto u^4$, også tipper jeg en må sette $s$ rundt 8. Kanskje enklere er å titte på https://math.stackexchange.com/question ... eorem?rq=1, svaret forklarer greit hvordan en kan få svaret ved å integrere rundt en kvartsirkel i første kvadrant.

Ellers er disse to https://math.stackexchange.com/question ... in-pi-n-wh, og https://math.stackexchange.com/question ... -arguments, fine om en ønsker å se på det mer generelle tilfellet.

[stensrud]

Hva skjer i denne overgangen? Ser ikke helt ut som du bruker Caucys residue theorem

Det er bare god gammeldags faktorisering :
\[ \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2-i}{x^4+1}\ dx= \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2-i}{(x^2-i)(x^2+i)}\ dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+i}\ dx.\]
Takker for linkene.

[Nebuchadnezzar]

Da er jeg enig vet du Fin løsning!

[Guest]

Hvordan blir $x^2 + i = x^2 + 1$?

[stensrud]

Hvordan blir $x^2 + i = x^2 + 1$?

Typo fixed.