Står fast på en deriveringsoppgave

[Trrn13P]

Deriver utrykket:[tex]sqrt(x) / (x + 1)[/tex]. Kvadratrot av x delt på (x+1). Kan noen hjelpe meg med en fremgangsmåte? Jeg kom fram til ((x+1)-sqrt(x))/(2*sqrt(x)*(x+1)^2). Det var feil, skulle være (1-x)/(2*sqrt(x)*(x+1)^2)

[Bananiel]

[tex](\sqrt{\frac{x}{x+1}})'[/tex]

Vi bruker kjerneregel, og gjør om [tex]\frac{x}{x+1}[/tex] til å bli [tex]u[/tex], også kjent som kjernen.

[tex](\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}[/tex] [tex]\cdot u'[/tex]

For vi vet jo at [tex](\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

[tex](\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}[/tex] [tex]\cdot \frac{1\cdot (x+1)-1\cdot x}{(x+1)^{^2}}[/tex]

Så kan vi begynne å erstatte [tex]u[/tex] med de faktiske tallene vi trenger,

[tex]\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+1}}} \cdot \frac{1}{(x+1)^{2}}[/tex]

[DennisChristensen]

Deriver utrykket:[tex]sqrt(x) / (x + 1)[/tex]. Kvadratrot av x delt på (x+1). Kan noen hjelpe meg med en fremgangsmåte? Jeg kom fram til ((x+1)-sqrt(x))/(2*sqrt(x)*(x+1)^2). Det var feil, skulle være (1-x)/(2*sqrt(x)*(x+1)^2)

Her må vi bruke brøkregelen. La $u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac12}$ og $v(x) = x + 1$. Da får vi at $$u '(x) = \frac12 x^{\frac12 - 1} = \frac12 x^{-\frac12} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ og $$v'(x) = 1,$$ så brøkregelen gir at $$\frac{d}{dx} \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(x+1\right) - \sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{\left[\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(x+1\right) - \sqrt{x}\cdot 1\right]2\sqrt{x}}{(x+1)^22\sqrt{x}} = \frac{x + 1 - 2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} = \frac{1 - x}{2\sqrt{x}\left(x+1\right)^2}.$$

[DennisChristensen]

[tex](\sqrt{\frac{x}{x+1}})'[/tex]

Vi bruker kjerneregel, og gjør om [tex]\frac{1}{x+1}[/tex] til å bli [tex]u[/tex], også kjent som kjernen.

[tex](\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}[/tex] [tex]\cdot u'[/tex]

For vi vet jo at [tex](\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

[tex](\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}[/tex] [tex]\cdot \frac{1\cdot (x+1)-1\cdot x}{(x+1)^{^2}}[/tex]

Så kan vi begynne å erstatte [tex]u[/tex] med de faktiske tallene vi trenger,

[tex]\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+1}}} \cdot \frac{1}{(x+1)^{2}}[/tex]

Dette vil da gi oss et svar som er:

[tex]\frac{1}{2\sqrt{x}(x+1)^{\frac{5}{2}}}[/tex]

Oppgaven spurte etter den deriverte til en annen funksjon. Merk deg hvor parentesene er satt opp i oppgaven.
Om vi allikevel ønsker å derivere $\sqrt{\frac{x}{x+1}}$ bør vi bruke kjerneregelen, godt observert! For å gjøre dette må vi riktignok bruke $u(x) = \frac{x}{x+1}$, ikke $\frac{1}{x+1}$ slik du skrev.

Videre bør du passe på notasjonen din. Vi ønsker å derivere funksjonen $\sqrt{u(x)}$ med hensyn på $x$. Da blir det feil å skrive $\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}u'$. Pass på om du mener å referere til selve funksjonen eller dens deriverte. Samme notasjonsproblem er også i linjen under. Her har du riktignok brukt riktig kjerne og derivert riktig.

Til slutt en feil i potensregning. Du har funnet riktig svar, nemlig at $$\frac{d}{dx} \sqrt{\frac{x}{x+1}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+1}}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}.$$ Om vi så ønsker å forenkle dette uttrykket kan vi skrive $$\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+1}}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2} = \frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}(x+1)^{2-\frac12}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(x+1)^{\frac32}}.$$

[Trrn13P]

Takk for hjelp. Forstod oppgaven nå

[Bananiel]

Oppgaven spurte etter den deriverte til en annen funksjon. Merk deg hvor parentesene er satt opp i oppgaven.
Om vi allikevel ønsker å derivere $\sqrt{\frac{x}{x+1}}$ bør vi bruke kjerneregelen, godt observert! For å gjøre dette må vi riktignok bruke $u(x) = \frac{x}{x+1}$, ikke $\frac{1}{x+1}$ slik du skrev.

Videre bør du passe på notasjonen din. Vi ønsker å derivere funksjonen $\sqrt{u(x)}$ med hensyn på $x$. Da blir det feil å skrive $\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}u'$. Pass på om du mener å referere til selve funksjonen eller dens deriverte. Samme notasjonsproblem er også i linjen under. Her har du riktignok brukt riktig kjerne og derivert riktig.

Til slutt en feil i potensregning. Du har funnet riktig svar, nemlig at $$\frac{d}{dx} \sqrt{\frac{x}{x+1}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+1}}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}.$$ Om vi så ønsker å forenkle dette uttrykket kan vi skrive $$\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+1}}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2} = \frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}(x+1)^{2-\frac12}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(x+1)^{\frac32}}.$$

Tusen takk for tilbakemelding! Setter pris på rettelsen Jeg må nok ha skrevet feil for [tex]\frac{1}{x+1}[/tex], for denne skulle vært [tex]\frac{x}{x+1}[/tex] som du sier.

Jeg ser også at forenklingen jeg har gjort ikke gir riktig svar, noe du påpeker. Dermed tar jeg dette som god kritikk, og velger å øve mer på dette. Takk igjen Bra å se at OP også forstod oppgaven nå!