Julekalender - luke 14

[Gustav]

Et gulv er flislagt med likesidede trekanter og kvadrater, alle med sidelengder $2$. Finn avstanden mellom punktene X og Y, som begge ligger i midten av kvadratene. (se figur)

[Julenissen yo]

[tex]\sqrt{27+13\sqrt{3}}[/tex] muligens?

[DonaldTrump]

3*sqr(10)*(sqr(3)+1)/2

[Dolandyret]

Er 8.0966 i nærheten?

Orker ikke plotte utregning på tlf om det er helt på jordet.

[mingjun]

Tar meg tiden til å leke meg rundt i MS Paint i dag.

Man kan først legge merke til at posisjonene til sentrene til de kvadratformede flisene er definert slik:

1.png (6.63 kiB) Vist 6056 ganger

Og videre:

2.png (34.65 kiB) Vist 6056 ganger

Man kan observere at den neste flis-gruppen er kun den forrige rotert 180 grader om senteret i en av kvadratene i den forrige flis-gruppen. (Man vet at rotasjonen er om sentret av kvadrat-flisen, fordi ingen andre punkter vil tillate kvadrat-flisen å overlappe seg selv etter en rotasjon som ikke er 360 grader. Og det gir oss naturligvis også at rotasjonen må være 180 grader (ut i fra figuren))

Dermed kan vi vite at $X, Y', X'$ ligger på samme linje (på grunn av at $X'$ er bare $X$ rotert $\pi$ om $Y$), og på samme vis vet vi at $Y', X', Y$ ligger på samme linje.

3.png (49.8 kiB) Vist 6056 ganger

Dermed vet vi også at $X, Y', X', Y'$ ligger på samme linje, og siden distansen mellom $(X,Y'), (Y',X'), (X', Y)$ er like, trenger vi kun å finne distansen mellom to av punktene, og gange med $3$.

4.png (9.55 kiB) Vist 6056 ganger

$X, Y'$ er altså midpunktene på henholdsvis $AB, CD$ i trapesen $ABCD$. Dermed vet vi at $$|XY'|=\frac{|AD|+|BC|}{2}= \frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}$$

$$ |XY|=3|XY'|= 3(1+\sqrt{3}) $$

Edit: gjorde om på begrep for å unngå forvirring

[stensrud]

EDIT: Sniped av mingjun, dette er en alternativ løsning.

Svaret er $\boxed{3+3\sqrt{3}}$. Se figuren for punktnavn. Vi viser først at sentrene i kvadratene ligger på samme linje: Vi vet at $PR\parallel SY$, og at $\lvert PR \rvert =\lvert SY\rvert$, så $SYRP$ er et parallellogram. Siden $Q$ er midtpunktet på $SR$ er det skjæringspunktet til diagonalene i parallellogrammet, og følgelig går også $PY$ gjennom $Q$.

Dette betyr at $XPQY$ alle ligger på samme linje, slik at
\[ \lvert XY \rvert = \lvert XP\rvert +\lvert PQ\rvert +\lvert QY\rvert=3\lvert XP\rvert . \]
Én måte å avslutte på er å bruke cosinussetningen på $\triangle XIP:$ $\angle XIP$ er lik $150^\circ$, og $\lvert XI\rvert = \sqrt{2}$ så
\[ \lvert XP\rvert = \sqrt{4+2\sqrt{3}} \implies \lvert XY\rvert = \sqrt{36+18\sqrt{3}} = 3+3\sqrt{3}. \]

na.png (32.08 kiB) Vist 6046 ganger

[Julenissen yo]

Hvorfor kan man ikke bare bruke cosinussetningen her?

[Kay]

Hvorfor kan man ikke bare bruke cosinussetningen her?

Var det jeg og tenkte. Du vil få

[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos(\theta)\Leftrightarrow c^2=(1+\sqrt{3}+2)^2+(2+\sqrt{3}+1)^2-2(1+\sqrt{3}+2)(2+\sqrt{3}+1)cos(120 \degree)=36+18\sqrt{3}[/tex]

[tex]\sqrt{36+18\sqrt{3}}=3(1+\sqrt{3})[/tex]

[Dolandyret]

Jeg brukte vektorer jeg

NB! Ikke verdens peneste fremstilling.

Julekalender luke 14.png (42.17 kiB) Vist 6004 ganger

Fra Y til endepunktet til vektor 1, har vi en vektor: [tex][-1,1][/tex].

Fra endepunktet til vektor 1 til endepunktet til vektor 2, har vi en vektor [tex][-2\sqrt2*\sin(15),2\sqrt2*\cos(15)][/tex].

Fra endepunktet til vektor 2 til endepunktet til vektor 3, har vi en vektor: [tex][-2,2][/tex].

Fra endepunktet til vektor 3 til endepunktet til vektor 4 har vi en vektor: [tex][-\sqrt2*\sin(15),\sqrt2*\cos(15)][/tex]

Om vi legger sammen disse vektorene og regner ut lengden av den, vil dette være avstanden fra Y til X.

[tex]\vec V_{sum}=[-1-2\sqrt2*\sin(15)-2-\sqrt2*\sin(15),1+2\sqrt2*\cos(15)+2+\sqrt2*\cos(15)][/tex]

[tex]\left | \vec V_{sum} \right |=\sqrt{(-1-2\sqrt2*\sin(15)-2-\sqrt2*\sin(15))^2+(1+2\sqrt2*\cos(15)+2+\sqrt2*\cos(15))^2}\approx 8.196[/tex]

[Kay]

Jeg brukte vektorer jeg

NB! Ikke verdens peneste fremstilling.

Julekalender luke 14.png

Fra Y til endepunktet til vektor 1, har vi en vektor: [tex][-1,1][/tex].

Fra endepunktet til vektor 1 til endepunktet til vektor 2, har vi en vektor [tex][-2\sqrt2*\sin(15),2\sqrt2*\cos(15)][/tex].

Fra endepunktet til vektor 2 til endepunktet til vektor 3, har vi en vektor: [tex][-2,2][/tex].

Fra endepunktet til vektor 3 til endepunktet til vektor 4 har vi en vektor: [tex][-\sqrt2*\sin(15),\sqrt2*\cos(15)][/tex]

Om vi legger sammen disse vektorene og regner ut lengden av den, vil dette være avstanden fra Y til X.

[tex]\vec V_{sum}=[-1-2\sqrt2*\sin(15)-2-\sqrt2*\sin(15),1+2\sqrt2*\cos(15)+2+\sqrt2*\cos(15)][/tex]

[tex]\left | \vec V_{sum} \right |=\sqrt{(-1-2\sqrt2*\sin(15)-2-\sqrt2*\sin(15))^2+(1+2\sqrt2*\cos(15)+2+\sqrt2*\cos(15))^2}\approx 8.196[/tex]

Riktig er det iallefall