Likningssett

[stensrud]

Løs likningssystemet
\[
\left\{
\begin{array}{c c c c c c c}
x \ln x&+&y\ln y&+&z\ln z&=0\\[2ex]
\dfrac{\ln x}{x}&+&\dfrac{\ln y}{y}&+&\dfrac{\ln z}{z}&=0
\end{array}
\right.
\]

[Nebuchadnezzar]

eksisterer det flere løsninger enn den trivielle? Tror faktisk etter rask og slurvete hoderegning at dette er den eneste løsningen.

[stensrud]

Hint: Nebu har rett.

[Gustav]

La $f(x)=(x-\frac1x )\ln x $. Vi ser at $f(x)\geq 0$ med likhet hviss $x=1$.

Dermed er $f(x)+f(y)+f(z)\geq 0$ med likhet hviss $x=y=z=1$.

Systemet har en løsning kun dersom likhet inntreffer, altså når $x=y=z=1$. Det er lett å verifisere at dette er en løsning, så dermed er den unik.

Edit:

[stensrud]

La $f(x)=(x-\frac1x )\ln x $. Vi ser at $f(x)\geq 0$ med likhet hviss $x=1$.

Dermed er $f(x)+f(y)+f(z)\geq 0$ med likhet hviss $x=y=z=1$.

Systemet har en løsning kun dersom likhet inntreffer, altså når $x=y=z=1$. Det er lett å verifisere at dette er en løsning, så dermed er den unik.

Edit:

Fin løsning, oppgaven er forøvrig fra den svenske finalen i år. Deres offisielle løsning er noe mer ordrik: http://www.mattetavling.se/wp-content/u ... n_2015.pdf

[Gustav]

Hvordan løste du den selv?

EDIT:
Det skulle vel gå an å generalisere dette problemet til ligningssettet

$\sum_{i=1}^n x_i\ln x_i=k$
$\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}\ln x_i =k$.

Vi kan reformulere problemet og spørre for hvilke verdier av $k$ systemet har en løsning.

Videre kan vi erstatte $\ln x_i$ med vilkårlige funksjoner $g_i(x_i)$ definert for $x_i>0$ der $g_i(x)<0$ for $0<x<1$, $g_i(1)=0$ og $g_i(x)>0$ for $x>1$.

[stensrud]

Hvordan løste du den selv?

EDIT:
Det skulle vel gå an å generalisere dette problemet til ligningssettet

$\sum_{i=1}^n x_i\ln x_i=k$
$\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}\ln x_i =k$.

Vi kan reformulere problemet og spørre for hvilke verdier av $k$ systemet har en løsning.

Videre kan vi erstatte $\ln x_i$ med vilkårlige funksjoner $g_i(x_i)$ definert for $x_i>0$ der $g_i(x)<0$ for $0<x<1$, $g_i(1)=0$ og $g_i(x)>0$ for $x>1$.

Jeg løste den litt annerledes: Vi er ute etter andre løsninger enn $x=y=z=1$, og antar at minst én slik finnes, hvor $x\ge y\ge1\ge z>0$ og $x>1>z$.
\[0=\sum\frac1x\ln x=\left(\frac1y-\frac1z\right)(\ln x+\ln y)+\left(\frac1x-\frac1y\right)\ln x+\frac1z\sum\ln x<\frac1z\sum\ln x\implies \sum\ln x>0\]
Siden $0>y\ln y+z\ln z>y(\ln y+\ln z)$ er $\ln y+\ln z<0$. Men med tilsvarende argument som ovenfor er
\[0=\sum x\ln x=(y-x)(\ln y+\ln z)+(z-y)\ln z+x\sum\ln x>x\sum\ln x\implies\sum\ln x<0\]
Hvor vi ender med $0<\sum\ln x<0$ som helt klart er absurd. Derfor må antagelsen om at andre løsninger enn $x=y=z=1$ finnes være gal.

[Gustav]

Ser bra ut!