Geometri - arealberegning

[Drezky]

[tex]\triangle ABC[/tex] har sidelengdene 6, 9 og 11. Konstruer tre sirkler med sentrum i hvert av hjørnene i trekanten slik at sirklene tangerer hverandre, men ikke overlapper.
Hva er arealet mellom sirklene? Avrund svaret til nærmeste tideler.

[Stringselings]

GEOMETRI.png (14.64 KiB) Viewed 2049 times

[tex]r_1[/tex] er radien til den minste sirkelen og [tex]r_3[/tex] er radien til den største.
[tex]AB=6[/tex] , [tex]AC=9[/tex] , [tex]BC=11[/tex]

Dermed får vi at [tex]r_1+r_2=6[/tex] , [tex]r_1+r_3=9[/tex] , [tex]r_2+r_3=11[/tex] som gir at [tex]r_1=2[/tex] , [tex]r_2=4[/tex] , [tex]r_3=7[/tex] .
Bruker cosinussetningen til å finne [tex]\angle A[/tex] og [tex]\angle B[/tex].
[tex]cos \angle A=\frac {BC^2-AB^2-AC^2}{-2AB \cdot AC}[/tex]

[tex]cos \angle B=\frac {AC^2-AB^2-BC^2}{-2AB \cdot BC}[/tex]

[tex]\angle C=180- \angle A- \angle B[/tex]

Til slutt bruker jeg arealsetningen og areal av sirkelsektorer.

[tex]A= \frac {1}{2}AB \cdot AC \cdot sin \angle A- \frac{\pi}{360}(r_1^2 \angle A+r_2^2 \angle B+r_3^2 \angle C)[/tex]
Dette gir at arealet er ca. 2. (rundet opp fra 1,98)