Grenseverdi nøtt

[Kjemikern]

La [tex]c_{0}>0,c_{1}>0,[/tex] og [tex]c_{n+1}=\sqrt{c_{n}}+\sqrt{c_{n-1}},\, n\geq 1[/tex]

Vis at [tex]\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}[/tex] finnes, og finn denne grensen.

Hvem tar den? Plutarco?

[Kjemikern]

Hint:

[tex]lim\: sup\, c_{n}\leq 4\leq lim\, inf\, c_{n}[/tex]

[Gustav]

Viser først at følgen er begrenset:
- Den er helt klart nedad begrenset av 0. La $M=\max(c_0,c_1,4)$. Da ser vi at $c_2\leq 2\sqrt{M}\leq M$ (siden $f(x):=x-2\sqrt{x}\geq 0 $ for $x\geq 4$). Induksjon gir at $c_n$ er oppad begrenset av $M$.

Siden $(c_n)$ er begrenset, eksisterer $\lim \inf c_n :=l$ og $\lim \sup c_n :=L$. Det eksisterer nå en delfølge $(c_{n_k})$ som konvergerer mot $l$ (og en som konvergerer mot $L$). I tillegg vil det, fra Bolzano-Weierstrass, eksistere delfølger $c_{n_k-1}\to l_1$ og $c_{n_k-2}\to l_2$. Ved å la $k\to\infty$, får vi til slutt at $L=\sqrt{l_1}+\sqrt{l_2}\leq 2\sqrt{L}\Rightarrow L\leq 4$, og $l=\sqrt{l_1}+\sqrt{l_2}\geq 2\sqrt{l}\Rightarrow l\geq 4$. Så $\lim \sup c_n \leq 4\leq \lim \inf c_n\Rightarrow \lim c_n =4.$

Edit: ryddet litt

[Kjemikern]

Viser først at følgen er begrenset:
- Den er helt klart nedad begrenset av 0. La $M=\max(c_0,c_1,4)$. Da ser vi at $c_2\leq 2\sqrt{M}\leq M$ (siden $f(x):=x-2\sqrt{x}\geq 0 $ for $x\geq 4$). Induksjon gir at $c_n$ er oppad begrenset av $M$.

Siden $(c_n)$ er begrenset, eksisterer $\lim \inf c_n :=l$ og $\lim \sup c_n :=L$. Det eksisterer nå en delfølge $(c_{n_k})$ som konvergerer mot $l$ (og en som konvergerer mot $L$). I tillegg vil det, fra Bolzano-Weierstrass, eksistere delfølger $c_{n_k-1}\to l_1$ og $c_{n_k-2}\to l_2$. Ved å la $k\to\infty$, får vi til slutt at $L=\sqrt{l_1}+\sqrt{l_2}\leq 2\sqrt{L}\Rightarrow L\leq 4$, og $l=\sqrt{l_1}+\sqrt{l_2}\geq 2\sqrt{l}\Rightarrow l\geq 4$. Så $\lim \sup c_n \leq 4\leq \lim \inf c_n\Rightarrow \lim c_n =4.$

Edit: ryddet litt

Ser rett ut det