Ulikhet-sider i trekant

[stensrud]

Synes denne var litt artig:

Finn det største reelle tallet $K$ (uavhengig av $a,b$ og $c$) slik at ulikheten

$$a^2+b^2+c^2>K(a+b+c)^2$$

holder for lengdene $a,b$ og $c$ av sidene i en stumpvinklet trekant.

[Guest]

Synes denne var litt artig:

Finn det største reelle tallet $K$ (uavhengig av $a,b$ og $c$) slik at ulikheten

$$a^2+b^2+c^2>K(a+b+c)^2$$

holder for lengdene $a,b$ og $c$ av sidene i en stumpvinklet trekant.

Er svaret 1? Tyttebærløsningen min er ikke mye å skryte av, men jeg vil gjerne vite svaret.

[Guest]

Synes denne var litt artig:

Finn det største reelle tallet $K$ (uavhengig av $a,b$ og $c$) slik at ulikheten

$$a^2+b^2+c^2>K(a+b+c)^2$$

holder for lengdene $a,b$ og $c$ av sidene i en stumpvinklet trekant.

Er svaret 1? Tyttebærløsningen min er ikke mye å skryte av, men jeg vil gjerne vite svaret.

mente 0.5*

[stensrud]

Stemmer det

[Gustav]

Stemmer det

Med mindre jeg har misforstått oppgaven, tror jeg ikke det stemmer. K må vel ligge i nærheten av 1/3. Prøv f.eks. med den rettvinklede trekanten med sider 3,4,5.

[Guest]

Stemmer det

Med mindre jeg har misforstått oppgaven, tror jeg ikke det stemmer. K må vel ligge i nærheten av 1/3. Prøv f.eks. med den rettvinklede trekanten med sider 3,4,5.

morsomt da at han spesifikt sier en stump trekant. Hvis en av vinklene er 90 grader hva er de to andre da? (spisse)

[Gustav]

Stemmer det

Med mindre jeg har misforstått oppgaven, tror jeg ikke det stemmer. K må vel ligge i nærheten av 1/3. Prøv f.eks. med den rettvinklede trekanten med sider 3,4,5.

morsomt da at han spesifikt sier en stump trekant. Hvis en av vinklene er 90 grader hva er de to andre da? (spisse)

Det er da lett å finne stumpe trekanter der ulikheten ikke stemmer for K=0.5, ved å skyve litt på vinkelen mellom sidene 3 og 4 i den trekanten jeg nevnte.

[Guest]

Det er da lett å finne stumpe trekanter der ulikheten ikke stemmer for K=0.5, ved å skyve litt på vinkelen mellom sidene 3 og 4 i den trekanten jeg nevnte.

Nå skjønner jeg ikke helt hva du mener, beklager. Oppgaven var å finne største verdi av K for ulikheten. Du har helt rett at det er lett å finne stumpe trekanter der hvor K ikke er 0.5, men det er vel heller ikke det vi skal finne.

Jeg har i alle fall funnet mange trekanter hvor K går mot 0.5 når den ene kateten går mot 0. f.eks trekanten med punkter i (0,0), (0,4), og (0.0000001, 0.0). Du kan sjekke selv, men verdien er i alle fall større enn 1/3. Hvis det er noe annet du mener tror jeg du må forklare det på en annet måte siden jeg skjønner ikke hvor du vil hen.

[Gustav]

Godt mulig jeg har misforstått oppgaven, men slik den opprinnelig var formulert tolket jeg det slik at vi skulle bestemme største verdi av K slik at ulikheten er oppfylt for alle stumpe trekanter.

Håper stensrud kan oppklare hva h*n mener i åpningsinnlegget.

EDIT:

Eller er det meningen å finne største K slik at det fins minst én stump trekant med sider a,b,c slik at ulikheten er oppfylt for denne verdien?

[Guest]

Godt mulig jeg har misforstått oppgaven, men slik den opprinnelig var formulert tolket jeg det slik at vi skulle bestemme største verdi av K slik at ulikheten er oppfylt for alle stumpe trekanter.

Håper stensrud kan oppklare hva h*n mener i åpningsinnlegget.

EDIT:

Eller er det meningen å finne største K slik at det fins minst én stump trekant med sider a,b,c slik at ulikheten er oppfylt for denne verdien?

Jeg tolket i alle fall oppgaven som din edit forklaring, men stensrud får vel som du sier oppklare dette (selv om det tross alt var han som sa at 0.5 var riktig).

Når det er sagt tror jeg din tolking leter etter den minste K slik at ulikheten er oppfylt for alle trekanter. Altså er du ute etter å finne inf (største minimum) for K i ulikheten?
Nå tror jeg i alle fall at jeg forstår hva du mener og hvor forvirringen stammer fra.

[stensrud]

Sorry, oppgaveteksten var dårlig formulert av meg. Vi skal finne den største verdien av $K$ slik at ulikheten stemmer for alle mulige $a,b,c$ som sider i en stumpvinklet trekant. Dermed kan ikke $K=1/2$; denne verdien er for stor, da den ikke stemmer for alle stumpvinklede trekanter. Uten å ha sett for nærme på det, er det godt mulig at Gjest sitt svar stemmer, hvis ulikheten kun trenger å gjelde for én trekant.

Så, jeg prøver igjen, og jeg legger også ved min nye løsning:

Finn det største reelle tallet $K$ (uavhengig av $a,b$ og $c$) slik at ulikheten

$$a^2+b^2+c^2>K(a+b+c)^2$$
holder for lengdene $a,b$ og $c$ av sidene i alle stumpvinklede trekanter.

Min løsning:

Ulikheten er ekvivalent med
$$\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}>K$$
og vi kan her uten tap av generalitet anta at omkretsen til trekanten er lik $1$, i.e.: $a+b+c=1$. Dette gir
$$a^2+b^2+c^2>K$$
Vi må nå finne den beste nedre grensen $K$ for venstresiden:
La $c$ være den lengste siden i trekanten: $a^2+b^2+c^2=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}+c^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}+c^2=\frac{(1-c)^2}{2}+c^2$ (den siste likheten følger av at $a+b+c=1\Leftrightarrow a+b=1-c$), med likhet kun når $a=b$. Så for å finne den nedre grensen må vi sette $a=b$:
Da er $c>a\sqrt{2}=b\sqrt{2}$, så $c>\sqrt{2}-1$, som igjen impliserer at $\frac{(1-c)^2}{2}+c^2>\frac{(1-(\sqrt{2}-1))^2}{2}+(\sqrt{2}-1)^2=\boxed{6-4\sqrt{2}}$, og dette er vår verdi av $K$, da $c$ kan være "uendelig nærme" $\sqrt{2}-1$.(forresten: $6-4\sqrt{2}\approx 0.34314575\approx\frac{1}{3}$).

[Guest]

mente 0.5*

Det er riktig

Ja ok jeg gir meg . Dere har rett. Godt å få det avklart da.

[Gustav]

Sorry, oppgaveteksten var dårlig formulert av meg. Vi skal finne den største verdien av $K$ slik at ulikheten stemmer for alle mulige $a,b,c$ som sider i en stumpvinklet trekant. Dermed kan ikke $K=1/2$; denne verdien er for stor, da den ikke stemmer for alle stumpvinklede trekanter. Uten å ha sett for nærme på det, er det godt mulig at Gjest sitt svar stemmer, hvis ulikheten kun trenger å gjelde for én trekant.

Så, jeg prøver igjen, og jeg legger også ved min nye løsning:

Finn det største reelle tallet $K$ (uavhengig av $a,b$ og $c$) slik at ulikheten

$$a^2+b^2+c^2>K(a+b+c)^2$$
holder for lengdene $a,b$ og $c$ av sidene i alle stumpvinklede trekanter.

Min løsning:

Ulikheten er ekvivalent med
$$\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}>K$$
og vi kan her uten tap av generalitet anta at omkretsen til trekanten er lik $1$, i.e.: $a+b+c=1$. Dette gir
$$a^2+b^2+c^2>K$$
Vi må nå finne den beste nedre grensen $K$ for venstresiden:
La $c$ være den lengste siden i trekanten: $a^2+b^2+c^2=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}+c^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}+c^2=\frac{(1-c)^2}{2}+c^2$ (den siste likheten følger av at $a+b+c=1\Leftrightarrow a+b=1-c$), med likhet kun når $a=b$. Så for å finne den nedre grensen må vi sette $a=b$:
Da er $c>a\sqrt{2}=b\sqrt{2}$, så $c>\sqrt{2}-1$, som igjen impliserer at $\frac{(1-c)^2}{2}+c^2>\frac{(1-(\sqrt{2}-1))^2}{2}+(\sqrt{2}-1)^2=\boxed{6-4\sqrt{2}}$, og dette er vår verdi av $K$, da $c$ kan være "uendelig nærme" $\sqrt{2}-1$.(forresten: $6-4\sqrt{2}\approx 0.34314575\approx\frac{1}{3}$).

Ser bra ut