Fra feltligning til ellipse

[ventle]

Denne oppgaven dreier seg om propagerende elektromagnetiske felt, men det jeg lurer på er et rent matematisk spørsmål.

Feltet E(t,z) er gitt ved [tex]a_x cos(kz-\omega t)\hat{x} + a_y cos(kz-\omega t-\varphi)\hat{y}[/tex]

Oppgaven går ut på å finne et uttrykk for polarisasjonsellipsen. Måten det gjøres på er å sette z lik null og så utlede en ligning for en ellipse av det resulterende uttrykket. Jeg har løsningsforslag til oppgaven, men skjønner ikke alle punktene i fremgangsmåten.

Det første som blir gjort er å dele opp E-uttrykket i ett uttrykk for x og ett for y. Løsningsforslaget sier da:

[tex]E_x = a_x cos(\omega t) \\ E_y = a_y cos(\omega t + \varphi)[/tex]

Er det riktig at [tex]\omega t[/tex] og [tex]\varphi[/tex] nå kan settes til å være positive - blir ikke dette da en ellipse som roterer motsatt vei?

Det neste er at man bruker

[tex]cos(\alpha \pm \beta) = cos \alpha cos \beta \mp sin \alpha sin \beta[/tex]

til å omskrive uttrykket til dette:

[tex]\left ( \frac{E_x}{a_x} \right )^2 + \left ( \frac{E_y}{a_y} \right )^2 = cos^2 (\omega t) + cos^2 (\omega t + \varphi)[/tex]

Jeg skjønner ikke sammenhengen/ekvivalensen mellom de to uttrykkene. Kan noen finne frem teskjeen og forklare...