Bestem $1/x$ og $1-x^2/a$ har ett skjæringspunkt

[Nebuchadnezzar]

Definerer $f(x) = 1/x$ og $g(x) = 1-x^2/a$. Bestem ved regning $a$ slik at
$f(x) = g(x)$ har nøyaktig en løsning for $x>0$.

[Gustav]

Definerer $f(x) = 1/x$ og $g(x) = 1-x^2/a$. Bestem ved regning $a$ slik at
$f(x) = g(x)$ har nøyaktig en løsning for $x>0$.

Definér $h(x,y)=xy$ og $k(x,y)=\frac{y-1}{x^2}$.

Problemet blir dermed å optimere $k(x,y)$ med føringen $h(x,y)=1$

Lagrangemultiplikatormetoden gir settet

$y=\lambda (-2)(y-1)\frac{1}{x^3}$

$x=\lambda \frac{1}{x^2}$

$xy=1$

Ligningene gir at $y=\frac23$ og $x=\frac32$. Da blir optimal verdi $k(\frac32,\frac23)=\frac{\frac23-\frac33}{(\frac32)^2}=-\frac{2^2}{3^3}=-\frac{1}{a}$, så $a=\frac{3^3}{2^2}=\frac{27}{4}$.

(Plotter funksjonene i wolfram, og det ser riktig ut http://www.wolframalpha.com/input/?i=1- ... 7%2C+1%2Fx)

[Brahmagupta]

En litt uformell alternativ løsning som heller baserer seg på litt geometrisk intuisjon.

Vi observerer først at funksjonene vil skjære hverandre for en negativ x-verdi. Hvis funksjonene skjærer hverandre for
en positiv x-verdi må de nødvendigvis skjære hverandre igjen (litt upresist). Vi er ute etter å finne $a$ slik at disse to skjæringspunktene
er sammenfallende. $f(x)=g(x)$ gir ligningen $x^3-ax+a=0$ gitt $x\neq0$. La $P(x)=x^3-ax+a$. Ut i fra betraktningene over
ønsker vi å finne $a$ slik at $P(x)$ kan faktoriseres $P(x)=(x-b)(x-c)^2=x^3-(b+2c)x^2+(2bc+c^2)x-bc^2$.

Sammenligner vi nå koeffisientene får vi ligningene:
$b+2c=0\Rightarrow b=-2c$
$-a=2bc+c^2=-3c^2$
$a=-bc^2=2c^3$

Kombinerer vi nå de to siste får vi at $a=3c^2=2c^3\Rightarrow c=\frac32 \Rightarrow a=3c^2=\frac{27}4$ siden $c\neq0$.