Lengde av kruver

[Jerry]

Har to oppgaver jeg kunne tenkt meg litt hjelp på i kveld, på begge gjelder det å finne lengden av kurven.

1)
x=3t[sup]2[/sup], y= 2t[sup]3[/sup] t fra 0 til 1.

s = [itgl][/itgl][rot][/rot]( (6t)[sup]2[/sup] + (6t[sup]2[/sup])[sup]2[/sup] ) dt
s = 6 [itgl][/itgl] t [rot][/rot] (1 + t[sup]2[/sup]) dt -substituerer og integrer
s = 6 [itgl][/itgl] [rot][/rot](u) du = 3 [2/3 * u[sup]3/2[/sup]] fra 0 til 1.

Fasiten sier 4[rot][/rot]2 - 2

2)
x=a*cos[sup]3[/sup]t, y=a*sin[sup]3[/sup]t t går fra 0, 2[pi][/pi]

s = [itgl][/itgl] [rot][/rot]( (-3a*cos[sup]2[/sup]*sint)[sup]2[/sup] + (3asin[sup]2[/sup] t*cost)[sup]2[/sup] ) dt
s =[itgl][/itgl] 3a [rot][/rot]( cos[sup]4[/sup]t*sin[sup]2[/sup]t + sin[sup]4[/sup]t*cos[sup]2[/sup]t) ) dt

Hva gjør jeg her?

[Kent]

1)
Ville kanskje ha skrevet
s=3[itgl][/itgl]f(u)du
u går ikke fra 0 til 1, det er det t som gjør. Ellers tror jeg det stemmer.

2)
Sett cos[sup]2[/sup]t*sin[sup]2[/sup]t utenfor.
Du skal da integrere 3a*sint*cost, som burde være fullt mulig.

[Solar Plexsus]

1) Som Kent påpeker, må du forandre integrasjonsgrensene når du bruker substitusjon. Her har du brukt substitusjonen u=kv.rot(1 + t[sup]2[/sup]), så de nye integrasjonsgrensene blir kv.rot(1 + 0[sup]2[/sup]) = 1 (nedre) og kv.rot(1 + 1[sup]2[/sup]) = [rot][/rot]2 (øvre). Dermed får du at buelengden blir

2[u[sup]3/2[/sup]][sub]u=1->[rot][/rot]2[/sub] = 2(2[sup]3/2[/sup] - 1[sup]3/2[/sup]) = 2(2[rot][/rot]2 - 1) = 4[rot][/rot]2 - 2.


2) Vha. av formlene cos[sup]2[/sup]t + sin[sup]2[/sup]t = 1 og sin(2t)=2*cos(t)*sin(t) får vi at buelengden blir

3a[itgl][/itgl] kv.rot( cos[sup]2[/sup]t*sin[sup]2[/sup]t (cos[sup]2[/sup]t + sin[sup]2[/sup]t) )dt (t=0->2[pi][/pi])

= 3a[itgl][/itgl]│cos(t)*sin(t)│dt (t=0->2[pi][/pi]) (Husk at [rot][/rot]x[sup]2[/sup] = │x│)

= (3a/2) [itgl][/itgl]│sin(2t)│dt (t=0->2[pi][/pi])

= (3a/2)*4

= 6a.

[Jerry]

1) Har jeg ikke brukt substitusjonen u = 1 + t[sup]2[/sup] ? Jeg trodde det, da hadde grensene blitt 1 og 2. Dessuten, når jeg setter inn for u igjen etterpå, kan jeg ikke da bruke det "gamle" grensene?

2) [itgl][/itgl] |sin(2t)| dt (t=0->2?) - er den intergrerte -1/2cos2t ?

Ellers sier takk så mye, det var til stor hjelp.

[Solar Plexsus]

Jo, du har brukt substitusjonen u=1 + t[sup]2[/sup]. Som du ser har jeg brukt u=2 som øvre integrasjonsgrense (selv om jeg skriver at u=[rot][/rot]2) i utregningen

2[u[sup]3/2[/sup]][sub]u=1->√2 [/sub]= 2(2[sup]3/2[/sup] - 1[sup]3/2[/sup]) = 2(2√2 - 1) = 4√2 - 2,

så selve utregningen er riktig. Jeg skulle selvsagt brukt substitusjonen u=1+t[sup]2[/sup] og ikke u=kvad.rot(1 + t[sup]2[/sup]).

Når det gjelder integrasjonsgrensene, må du passe på at disse stemmer overens med integrasjonsvariabelen:

s = 6 ∫ t *kvad.rot(1 + t[sup]2[/sup])dt ... t=0->1

= 3 [itgl][/itgl] [rot][/rot]u du ... u=1->2 ... (u=1+t[sup]2[/sup])

= [2u[sup]3/2[/sup]] ... u=1->2

= [2(1 + t[sup]2[/sup])[sup]3/2[/sup]] ... t=0->1

= 4[rot][/rot]2 - 2.

[Jerry]

Fint, jeg trodde en stund at jeg hadde gått i vranglære på vgs.

[Gjest]

Eg så nett denne tråden, kva har du gjort her?

= (3a/2) [itgl][/itgl] |sin(2t)|dt (t=0->2?)
= (3a/2)*4

Eg får ikkje 4 når eg integrere sin(2t), eg trur ikkje mitt svar er heilt rett, så eg vil gjerne sjå korleis du har gjort det.

[Solar Plexsus]

Nå er

sin(2t)>=0 når 0<=t<[pi][/pi]/2 og [pi][/pi]<=t<3[pi][/pi]/2,
sin(2t)<=0 når [pi][/pi]/2<=t<[pi][/pi] og 3[pi][/pi]/2<=t<2[pi][/pi].

Dette medfører at

[itgl][/itgl]|sin(2t)|dt (t=0->2[pi][/pi]) =
[itgl][/itgl]sin(2t)dt (t=0->[pi][/pi]/2) - [itgl][/itgl]sin(2t)dt (t=[pi][/pi]/2->[pi][/pi]) + [itgl][/itgl]sin(2t)dt (t=[pi][/pi]->3[pi][/pi]/2) - [itgl][/itgl]sin(2t)dt (t=3[pi][/pi]/2->2[pi][/pi])
= 1 + 1 + 1 + 1 = 4.