Fire firere

[skf95]

La oss kjøre en "forumlek". Oppgaven er å skrive flest mulig naturlige tall med fire firetall. Reglene er enkle; en skal alltid benytte nøyaktig fire firetall. Kun regneartene pluss, minus, multiplikasjon og divisjon, samt kvadrering, fakultet og parentesbruk, kan brukes. Vi går kronologisk fram. Jeg viser med de tre første tallene, så er det bare å fortsette så langt vi klarer

EDIT: Tror vi også skal godta kvadratrot, noen innspill her?.

[tex]1= \frac{4+4}{4+4}[/tex]

[tex]2= \frac{4}{4} + \frac{4}{4}[/tex]

[tex]3= \frac{4^2}{4} - \frac{4}{4}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

føler ikke siste løsning er en fullgod løsning da den bruker et 2 tall.
En litt bedre løsning er
$ \hspace{1cm}
3 = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{4}{4} = 4 \left( 4 - \frac{1}{4} \right)
$
Men ingen av disse løsningene er perfekte siden første bruker
for mange 4-tall, mens siste har en 1/4 som ikke er helt innafor heller.

EDIT:
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
2 & = \left( \frac{4 \cdot 4}{4 + 4}\right)! \\
3 & = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{4 \cdot 4 - 4}{4} = 4!-4!+4-\Gamma \sqrt{4} \\
4 & = 4! - 4! + \frac{4!}{\Gamma(4)} = (4 - 4)! \cdot 4 + 4 = \sqrt{4} + \sqrt{4} - \sqrt{4} + \sqrt{4} \\
5 & = \frac{4!}{\Gamma(4)} + \left[\Gamma\left( \frac{4}{4} \right)\right]! = \frac{4 \cdot 4 + 4}{4} = \left(\frac{\sqrt{4} + \sqrt{4}}{4}\right)! + 4 \\
6 & = \Gamma(4) + 4\cdot(4!-4!) = \left(\frac{4+4}{4}\right)! + 4 \\
7 & = 4+4 - \frac{4!}{4!} \\
8 & = 4 + 4! - 4! + 4 \\
9 & = 4 + 4 + \left( \frac{4}{4} \right)! \\
10 & = \Gamma(4) + 4 - 4 + 4 = \frac{44 - 4}{4}
\end{align*}

$
Hvor $\Gamma(n+1) = n!$

Zzz

[skf95]

I utgangspunktet hadde jeg jo godtatt kvadrering, dermed 2-tallet. Men skal vi unngå det kan en jo bare i stedet velge [tex]3= \frac{4 \cdot 4 -4}{4}[/tex]

Forøvrig en liten slurvefeil i det du skrev

[Aleks855]

$4 = 4 + 4 \cdot (4-4)$

EDIT: Nebu i forveien.

[Aleks855]

$11 = \frac44 + \frac4{0.4}$

[Nebuchadnezzar]

Øy, ufint å bruke 0.4 :p Bedre å tillate floor og ceil.

$ \hspace{1cm}
11 = \frac{4!}{4!}+\Gamma(4) + 4 = \frac{44}{4} + \lfloor 1/4 \rfloor = \frac{44}{\sqrt{4} + \sqrt{4}}
$

[Brahmagupta]

Kan man bruke velkjente funksjoner så er jo

[tex]n=-\log_{\sqrt4}(\log_{\sqrt4}{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4\cdot4}}}})[/tex]

Hvor det er tatt [tex]n+2[/tex] kvadratrøtter.

Under betingelsene gitt i den opprinnelige oppgaveteksten har jeg kommet til 40, men tror det får holde for nå.

[skf95]

Fine løsninger, men hva betyr operatoren [tex]\Gamma[/tex]? Tenkte i utgangspunktet at kun grunnleggende regnearter skulle være tillatt, men mulig slike må innføres etterhvert. For å unngå gammaen og 10 i nevner, stemmer jeg for [tex]10= \frac{44}{4,4}[/tex] eller [tex]10= 4+4+4- \sqrt{4}[/tex]. Videre har vi

[tex]11= \frac{4!} { \sqrt{4} }- \frac{4}{4}= \frac{44}{ \sqrt{4 \cdot 4} }[/tex]

[tex]12= \frac{4! \cdot 4}{4+4}[/tex]

[tex]13= \frac{44}{4} + \sqrt{4}[/tex]

(Ser jeg er litt etter, men jaja.)

EDIT; ser du allerede har definert operatoren

[Aleks855]

Øy, ufint å bruke 0.4

Pfft.

$14 = 4 \cdot (4-.4)-.4$

Bedre? Brukte ikke 0 denne gangen

[skf95]

Bedre? Brukte ikke 0 denne gangen

Enda bedre; [tex]14= 4+4+4+ \sqrt{4}[/tex]

[tex]15= 4 \cdot 4- \frac{4}{4}[/tex]

[tex]16= 4! -4- \sqrt{4 \cdot 4}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
12 & = \frac{4+ 44}{4} \\
15 & = \frac{44}{4} + 4 = 4 \cdot 4 - \frac{4}{4} \\
16 & = 4 + 4 + 4 + 4 = 44 - 4! - 4 \\
17 & = 4 \cdot 4 + \frac{4}{4} \\
18 & = 4 \cdot 4 + \frac{4}{\sqrt{4}} \\
19 & = 4! - 4 - \frac{4}{4} \\
20 & = 4! - 4 + 4 - 4 = 4 \cdot \left( \frac{4}{4} + 4 \right)
\end{align*}
$

Foretrekker løsninger uten $!$ og $\sqrt{\phantom{4}}$, men
klarte ikke å finne slike løsninger på 13, 14,18 og 19.

[skf95]

Vanskelig å unngå rottegn og fakultet, ja.

[tex]21=4!-4+ \frac{4}{4}[/tex]

[tex]22= \frac{44}{4} \cdot \sqrt{4}[/tex]

[tex]23= \frac{4 \cdot 4! -4}{4}[/tex]

[tex]24=(4- \frac{4}{4} )! \cdot 4 =4! \cdot 4^{4-4} = 4 \cdot 4 +4+4 = 44-4!+4[/tex]

[tex]25= \frac{4 \cdot 4! +4}{4}[/tex]

[Hermanator]

Morsomt!

[tex]26=4! \frac{4+4}{4}[/tex]

[tex]27= 4!+4- \frac{4}{4}[/tex]

[tex]28= 4!+ \frac{4 \cdot 4}{4}[/tex]

[tex]29= 4!+4+ \frac{4}{4}[/tex]

[tex]30=4 \cdot 4 \cdot \sqrt{4} - \sqrt{4}[/tex]