Funksjon definert implisitt

[matteugeniet]

La y være en funksjon definert implisitt ved nivåkurven [tex]ln(e^{y}+ax)=10[/tex], hvor a er en konstant. Hva er [tex]{y}'x[/tex]?

Svaret skal bli [tex]-ae^{-y}[/tex].


Hvordan kommer jeg frem til det? Har prøvd alt jeg kan, men kommer ikke frem til noe som helst fornuftig..

[Vektormannen]

Deriver begge sider implisitt med hensyn på x. På høyre side får vi da 0, på venstre side må vi huske på kjerneregelen når vi deriverer [tex]e^y[/tex] med hensyn på x: [tex]\frac{d}{dx} \ln(e^y + ax) = \frac{1}{e^y + ax} \cdot (y^\prime(x) \cdot e^y + a)[/tex]. Tar du resten da?

[matteugeniet]

Takk for svar, men jeg skjønner det fortsatt ikke. Jeg får [tex]\frac{e^y+a}{e^y+ax}=0[/tex].
Om det er riktig, så skjønner jeg ikke hvordan x fjernes og hvordan uttrykket skrives om.

[Vektormannen]

I telleren blir det [tex]e^y \cdot y^\prime(x) + a[/tex] (dette kommer av kjerneregelen - y er en funksjon av x), men ellers er det riktig. Hvis en brøk er 0 vet du videre at telleren må være 0 (du kan også gange med nevneren på begge sider). Da bør du ende opp med ønsket svar.

[Gjest]

Jeg får det fortsatt ikke til Den regel jeg kjenner til sier at [tex]f'(x)=\frac{1}{u(x)}u'(x)[/tex]. Så hvordan får du da [tex]e^{y}*y'(x)+a[/tex]? Hvordan er regelen? Jeg finner ingen slik regel i pensumboken.

[Flaw]

Det er kjerneregelen. [tex]y[/tex] er en funksjon av [tex]x[/tex], [tex](y(x))[/tex].

Dermed blir [tex]\frac{d}{dx}e^{y}=e^{y}\cdot y'(x)[/tex]

[matteugeniet]

Hei, takk for svar. Jeg skjønner det fortsatt ikke.

a/e^y+ax

e^y+a/e^y+ax

(e^y+a/e^y+ax)*a

Jeg har prøvd absolutt alt jeg kan. Ser ingen logikk i det, og ikke har jeg hørt om den kjerneregelen du linket til heller. Og om jeg hadde brukt den så hadde jeg jo ganget brøken med det samme to ganger.. Har absolutt ingen problemer med å derivere andre oppgaver heller.

[Realist1]

Jeg tror nok du har hørt om kjerneregelen. Det er den aller første derivasjonsregelen man lærer i R1. Kanskje det bare er vanskelig å se at den brukes her.

Hvis du deriverer $(2x+1)^2$, så bruker du kjerneregelen. Først får du $2 \cdot (2x+1)$ når du deriverer den ytre funksjonen, men så må du også gange med den deriverte av "kjernen", og svaret blir altså $4(2x+1) = 8x+4$. Dette er kjerneregelen.

Kjerneregelen i praksis, relevant til din oppgave:

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$... Denne er grei. Men...

$\frac{d}{dx} e^y = e^y \cdot y^{\prime}$... Ser du hvorfor?


Tilbake til oppgaven din:

$\frac{d}{dx} \ln(e^y + ax) = \frac{1}{e^y + ax} \cdot \frac{d}{dx}(e^y + ax) = \frac{1}{e^y + ax} \cdot (y^\prime(x) \cdot e^y + a) = \frac{y^{\prime}(x) \cdot e^y + a}{e^y + ax} = 0$

Dette medfører altså at $y^{\prime}(x) \cdot e^y + a = 0$... Og da tar du det derfra?

[Matteugeniet]

Nei, jeg har faktisk ikke hørt om den regelen der.. Hadde jeg fått i oppgave å derivere (2x+1)^2 så hadde jeg skrevet det ut som 4x^2 + 4x + 1, og så derivert. Så jeg hadde fått riktig svar, men har aldri brukt regelen på den måten som dere gjør. Desverre

Er det riktig at y'(x) da bare blir a?

[tex]\frac{a\cdot e^y+a}{e^y+ax}=0[/tex]

Som medfører at [tex]a\cdot e^y+a=0[/tex]

Kan jeg bare drite i det som står under brøkstreken altså? Hvordan blir jeg kvitt den ekstra a'en, og hvordan får jeg svaret i minus? Det ser tydeligvis mørkt ut for matteeksamen i år! Men takk for hjelpen

[Gjest]

Forresten, om jeg har lov til å flytte a over, sånn jeg får [tex]ae^y=-a[/tex],
og så bytte side, sånn det blir [tex]a=-ae^{-y}[/tex], så skjønner jeg det. Men jeg trodde ikke at svaret skulle bli a er lik noe..

[Realist1]

Nei, jeg har faktisk ikke hørt om den regelen der.. Hadde jeg fått i oppgave å derivere (2x+1)^2 så hadde jeg skrevet det ut som 4x^2 + 4x + 1, og så derivert. Så jeg hadde fått riktig svar, men har aldri brukt regelen på den måten som dere gjør. Desverre

Tingen er at $y$ er jo en funksjon av $x$. Hvis vi sier at $y(x) = 3x^2+2x$, for eksempel, så vil jo da $e^y = e^{3x^2+2x}$. Når vi deriverer $e^y$ mhp. $x$ må vi altså tenke på at $y$ er en funksjon av $x$.

$\frac{d}{dx} e^{y} = \frac{d}{dx} e^{3x^2+2x} = e^{3x^2+2x} \cdot (3x^2+2x)^{\prime} = e^{3x^2+2x} \cdot (6x+2)$, som jo er lik $e^y \cdot y^{\prime}$.

Er det riktig at y'(x) da bare blir a?

[tex]\frac{a\cdot e^y+a}{e^y+ax}=0[/tex]

Som medfører at [tex]a\cdot e^y+a=0[/tex]

Nei, $y^{\prime}$ er jo det du skal finne, så du vil jo ikke bytte det bort mot noe. Du har en ligning med $y^{\prime}$, og du skal finne $y^{\prime}$. Da er det bare til å isolere $y^{\prime}$.

Kan jeg bare drite i det som står under brøkstreken altså? Hvordan blir jeg kvitt den ekstra a'en, og hvordan får jeg svaret i minus? Det ser tydeligvis mørkt ut for matteeksamen i år! Men takk for hjelpen

Ja, du driter i nevneren. Regelen er at en brøk er 0 når telleren er null. $\frac{0}{3}=0$. $\frac{0}{8}=0$. $\frac{0}{1}=0$. $\frac{0}{3423515}=0$. Gir det mening?

Derfor har du altså at:

$y^{\prime} \cdot e^y + a = 0$

$y^{\prime} \cdot e^y = -a$

$y^{\prime} = -\frac{a}{e^y} = -ae^{-y}$

[Gjest]

Jeg får det fortsatt ikke til Den regel jeg kjenner til sier at [tex]f'(x)=\frac{1}{u(x)}u'(x)[/tex].

Dette er forresten også kjerneregelen. Derivasjonsregelen sier jo at $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$. Du har at $f(x)=\ln \left( u(x) \right)$ gir $f'(x) = \frac{1}{u(x)} u'(x)$. Dette er jo et perfekt eksempel på kjerneregelen. Først deriverer du den ytre funksjonen, så ganger du med den deriverte av kjernen. Kjerneregelen på sitt beste.

Mvh Realist1 på mobil fra sengen