Taylor-rekker

[danode]

Er det noen som kan hjelpe meg med å løse denne oppgaven? Setter også pris på om du forklarer veldig grunnleggende, forstår ikke så mye av Taylor-rekker og Taylor-polynomer.

[Lord X]

Er det mulig å til eit større bilde, evt. skrive det i TeX?

[Lord X]

Ok, hugsar du formelen? Dersom du skal finne Taylorrekka til ein funksjon [tex]f[/tex] om eit punkt [tex]a[/tex], så har vi fylgjande formel:

[tex]T(x;a)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot{(x-a)^n}[/tex]

I dette tilfellet er a=0 så formelen blir då:

[tex]T(x;0)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{x^n}[/tex]

For å finne rekka må vi altså regne ut kva alle dei deriverte til funksjonen blir i x=0, dvs. vi må finne [tex]f^{\prime}(0)[/tex], [tex]f^{\prime\prime}(0)[/tex], [tex]f^{(3)}(0)[/tex] osv. (i tillegg må vi finne [tex]f(0)[/tex])

I denne oppgåva ser vi i alle fall at [tex]f(0)=0[/tex].

La oss finne den deriverte av [tex]f[/tex]. Dette kan vi gjere på to måtar; enten kan vi først rekne ut integralet mhp. t og sette inn grensene (nedre grense 0, øvre grense x) og så derivere uttrykket vi ender opp med.

Den andre (og smartare) måten er å bruke analysens fundamentalteorem (="derivasjon og integrasjon er motsatte rekneartar") til å sjå at:

[tex]f^{\prime}(x)=e^{x}+e^{-x}[/tex]

Klarer du nå å finne rekka?

[danode]

Jeg finner ut at f(0) blir 2 i partall og 0 i oddetall. Men hvordan skal jeg bruke denne infoen til å plotte inn i rekken?

[Lord X]

Jeg finner ut at f(0) blir 2 i partall og 0 i oddetall. Men
hvordan skal jeg bruke denne infoen til å plotte inn i rekken?

Det blir vel omvendt, dvs. 2 for oddetal og 0 for partal?

[tex]f(0)=0[/tex]
[tex]f^{\prime}(0)=e^0+e^0=2[/tex]
[tex]f^{\prime\prime}(0)=e^0-e^0=0[/tex]

osv. (men du har sikkert tenkt/gjort riktig )

Altså blir rekka:

[tex]T(x;0)=2x+2\frac{x^3}{3!}+2\frac{x^5}{5!}+\ldots[/tex]

Ettersom oddetala kan skrivast på formen 2n+1 ser vi at dette også kan skrivast som:

[tex]T(x;0)=2\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]

Ser du dette?

Det er vel forsåvidt også ein annan måte du kan rekne ut denne rekka på, hvis du hugsar Taylorrekka til [tex]e^t[/tex] om [tex]t=0[/tex]:

[tex]e^{t}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}[/tex]

Denne rekka konvergerer for alle t. Ved å sette inn -t i formelen ovanfor får vi derfor at Taylorrekka til [tex]e^{-t}[/tex] er:

[tex]e^{-t}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-t)^n}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}t^n}{n!}[/tex]

Derfor blir Taylorrekka til summen lik:

[tex]e^{t}+e^{-t}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n(1+(-1)^{n})}{n!}[/tex]

Ettersom denne rekka konvergerer overalt har vi lov til å integrere og derivere ledd for ledd, så vi kan finne f ved å integrere på begge sider av denne likninga. Hvis du vil kan du prøve å gjere dette og sjekke om du får same svar.

(svaret på b) blir altså at rekka konvergerer over alt. Hvis du tar utgangspunkt i formelen vi fant ovanfor kan du også vise dette ved å se på grenseverdien når n går mot uendeleg av forholdet mellom ledd nr n+1 og ledd nr n i rekka)

[danode]

Ah, men da skjønner jeg litt mer! Tusen takk for hjelpen

[Nebuchadnezzar]

En attpåklatt kommentar, er å legge merke til følgende

[tex]\frac{1}{2}\left( e^t + e^{-t} \right) = \cosh(t)[/tex] da er

[tex]e^t \, + \, e^{-t} \, = \, 2 \cosh(t)[/tex]

Slik at

[tex]f(x) \, = \, \int_0^x e^{t} + e^{-t}\mathrm{d}t = 2 \int_0^x \cosh(t) \,\mathrm{d}t = \sinh(x) - \sinh(0) = \sinh(x)[/tex]

Hvor taylorrekka til [tex]\sinh(x)[/tex] finnes i enhver standard regelbok. At det å bytte om integraltegnet og summasjonstegnet er lovlig, kommer fra abels teorem. Da [tex]\sinh(t)[/tex] er en analytisk funksjon på [tex]\mathbb{R}[/tex].

Dette er jo ganske "åpenbart" da de hybebolske funksjonene for det første består av en sum ava nalytiske funksjoner, og fordi de bærer preg av svært mange av de kjente egenskapene til de vanlige vanlige trigonometriske funksjonene jfr [tex]\sin x[/tex], [tex]\cos x[/tex].