Grei funksjonalligning

[Gustav]

Finn alle funksjoner [tex]f[/tex] fra [tex]\mathbb{Z}[/tex] til [tex]\mathbb{Z}[/tex] som tilfredsstiller [tex]f(f(x)) = x+1[/tex] for alle [tex]x[/tex].

[Hoksalon]

Nå er jeg VELDIG langt i fra en ekspert på funksjonelle ligninger.

Funksjonen kan selvfølgelig ikke være
[tex]f(x) \not= a[/tex]

Videre:
[tex]f(f(x)) = x + 1[/tex]

Jeg ser at for f(x) = x + a ikke har noen løsning:

[tex]f(x+a) = (x+a) + 1 = x + 1[/tex]

[tex]a = 0[/tex]

Noe som er umulig.

Derfor må ligningen ha en orden som er større enn en. Her stopper det opp.

[Nebuchadnezzar]

Tja.. [tex]f(x) = x + 1/2[/tex] funker

Har ikke klart å løse den heller men tenker at det kan være lurt å se at

[tex]f^{-1}(f(x)) = x[/tex]

Fra [tex]\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[/tex] ,den sniken Plutarco![/tex]

[Gustav]

Hint: det fins ingen slike funksjoner (men det er selvsagt noe som må bevises)

[Brahmagupta]

Litt usikker på om dette holder helt.

Tar f på begge sider av ligningen:
[tex]f(x+1)=f(f(f(x)))=f(x)+1[/tex]

I siste overgang brukes f(x) som variabel og den opprinnelige ligningen.

Den nye ligningen gir at [tex]f(1) =f(0) + 1[/tex]
og videre ved induksjon at [tex]f(x) = x + f(0)[/tex]

Antar at [tex]f(n) = n + f(0)[/tex]
[tex]f(n+1) = f(n) + 1 = n+1 +f(0)[/tex]

Ved innsetting av dette resultatet i den opprinnelige ligningen får man:
[tex]x + 1 = x + 2f(0) => f(0) = \frac12[/tex]
Hvilket ikke er mulig siden funksjonen kun skal være på de hele tallene.
Dermed finnes ingen slike funksjoner.

[Lord X]

Anta f er ein slik funksjon, og la f(0)=m.

Då må vi ha

[tex]f(m)=f(f(0))=1[/tex] slik at [tex]f(1)=f(f(m))=m+1[/tex]

Vidare får vi at [tex]f(m+1)=f(f(1))=2[/tex] slik at [tex]f(2)=f(f(m+1))=m+2[/tex].

Generelt ved induksjon: [tex]f(n)=m+n[/tex] for n større eller lik null.

Men då må [tex]f(m+n)=f(f(n))=n+1[/tex] og [tex]f(m+n)=m+(m+n)=2m+n[/tex]

ergo [tex]2m+n=n+1[/tex] eller [tex]2m=1[/tex] slik at [tex]m=\frac{1}{2}[/tex] dvs ikkje eit heiltal!

[Gustav]

Korrekt!