Vise at likninger har samme løsning

[Fanboy]

Hva er det jeg egentlig må gjøre for å vise noe sånnt? Noen som kan hjelpe meg på vei?

[Vektormannen]

Det du må vise er at [tex]e^{-x} = x \ \Leftrightarrow \ \ln x = -x[/tex]. Da kan du først vise at [tex]e^{-x} = x \ \Rightarrow \ \ln x = -x[/tex] og deretter vise at [tex]\ln x = -x \ \Rightarrow \ e^{-x} = x[/tex]. Jeg regner med du ser hvordan du kan gå fra den ene til den andre? Du trenger strengt tatt bare vise den ene implikasjonen siden eksponentialfunksjonen og ln er én-til-én-funksjoner.

[Fanboy]

Skjønner ikke helt hvordan jeg i praksis skal vise dette?

[Nebuchadnezzar]

Hva skjer om du tar logaritmen av begge sider på uttrykket

[tex]e^{-x} \,=\, x [/tex]

?

[Fanboy]

Huff, for lenge siden jeg har drevet med dette merker jeg.

ln (e^-x) = -x

og
ln x = ?

[Nebuchadnezzar]

Riktig det ja =)

[Fanboy]

Bra : )

hva gjør jeg med lnx ? Bare lnx = lnx ? : p

og hva gjør jeg for "å vise at likningene har minst en løsning"?

[Nebuchadnezzar]

Husk at du må ta logaritmen av begge sider!
Tenk på en likning som en skålvekt, for å opprettholde balansen må du legge til og trekke fra like mye på begge sider slik at

[tex]e^{-x} = x[/tex]

Så tar vi logaritmen på begge sider og får

[tex]\ln( e^{-x} ) = \ln( x )[/tex]

[tex]-x \ln( e ) = \ln(x)[/tex]

[tex]-x = \ln(x)[/tex]

For å vise at funksjonen har minst en løsning kan
du for eksempel definere følgende funksjon

[tex]f(x) = \ln x + x[/tex]

og finne en x verdi slik at [tex]f(x)<0[/tex] og en [tex]x[/tex]-verdi slik at [tex]f(x)>0[/tex].
Dersom du finner to slike [tex]x[/tex]-verdier og viser at [tex]f(x)[/tex] er kontinuerlig
mellom disse, ser du da hvorfor funksjonen din må minst ha et nullpunkt?

[Fanboy]

Tusen takk Babylons store hersker! Nå tror jeg at jeg forstår, huff følte meg litt dum når jeg skjønte det, men man blir lurere av "dumme" spørsmål også heldigvis!

Det med nullpunktene skal jeg tenke litt mer på, og tegne graf så kommer jeg evt tilbake med spørsmål

[Fanboy]

Skjønner nå at den må ha minst ett nullpunkt.

Bruker funksjonen du skrev f(x) = lnx + x

Hvis jeg da tar f(0,1) = -2,202 som såklart er f(x) < 0
og
f(1) = 1 som er f(x) > 0

hvordan viser jeg da et den er kontinuerlig mellom disse? lim x -> 1 = 1 og viser at det er lik f(1) ?

[Nebuchadnezzar]

Jeg ville heller valgt [tex]x_1 = 1/e[/tex] og [tex]x_2 = 1[/tex], fordi dette er enklere verdier å regne ut uten kalkulator.

For at en funksjon skal være kontinuerlig så må de individuelle delene av funksjonen være kontinuerlig. Vi vet allerede at x er kontinuerlig på den reelle tallinja. Har [tex]\ln x[/tex] noen punkter der den ikke er kontinuerlig?
klarer du å unngå disse, når du velger et interval?

Nå skal det sier at det å bevise kontinuitet på rigorøs måte (en skikkelig måte med bevis og sånt) krever høyere matematikk. Så på vgs holder det å skrive hvor [tex]\ln x[/tex] ikke er kontinuerlig, å bare si at funksjonen oppfører seg pent etter det. Da den er monotont stigende (titt på den deriverte)

[Fanboy]

hm, jeg ser ikke hvor ln (x) ikke er kontinuerlig?

[Aleks855]

Hva er ln(0)?

[Gustav]

Ikke så rart siden ln(x) er kontinuerlig på hele domenet [tex](0,+\infty)[/tex]

[Fanboy]

Huff hvor dum går det an å bli...