Finne egenverdier og egenvektorer

[fjas]

Mandag slet jeg med følgende oppgave: Jeg skal finne alle egenverdier og egenvektorer for matrisen:

[tex]\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]

Følgende hadde jeg gjort / funnet ut:

det (A - λI) = [tex]\begin{pmatrix} 3 - lambda & 6 & -2 \\ 0 & 1 - lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 - lambda \end{pmatrix}[/tex]

som gir: det A = (3 - λ)(1 - λ)[sup]2[/sup]

(3 - λ)(1 - λ)[sup]2[/sup] gir igjen λ = 1 og λ = 3.

Så langt, alt vel.

Videre blir det to matriser, en for hver λ:

λ = 1: [tex]\begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex] gir: [tex]\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex]

λ = 3: [tex]\begin{pmatrix} 0 & 6 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}[/tex] gir: [tex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex]

Her gikk det til slutt galt, uansett hva jeg prøvde, når jeg skulle løse systemet matrisene representerer.

Jeg vet selvsagt at to vektorer kan se forskjellig ut, men fortsatt være like. Det er bare det at de jeg fikk ble helt annerledes enn de fasiten ga.

Og jeg hadde egentlig gått utifra at jeg ville få det samme svaret, siden det bare er denne fremgangsmetoden som blir vist i eksempler.

Siden jeg føler meg sikker på at alt er riktig frem til hit, er nok årsaken at jeg ikke er stø nok på å løse slike flerlikningssystemer.

Jeg trenger nok et crash course når det gjelder ulike løsningsmetoder, gjerne med utgangspunkt i denne oppgaven.

Gitt fasitsvar:
- Egenverdier: 3 og 1
- Egenvektorer: s[1, 0, 0][sup]T[/sup] s [symbol:ikke_lik] 0, t[1, 0, 1][sup]T[/sup] + u[-1, 1, 2][sup]T[/sup], t og u [symbol:ikke_lik] 0

(edit: endret til TeX)

[Gustav]

(TeX hadde visst vært en fordel å lære seg ser jeg...)

Hvis du skal skrive matriser:

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}[/tex]

Kopiér og fyll inn ønskelige tall:

Code: Select all

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}[/tex]

[fjas]

(TeX hadde visst vært en fordel å lære seg ser jeg...)

Hvis du skal skrive matriser:

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}[/tex]

Kopiér og fyll inn ønskelige tall:

Code: Select all

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}[/tex]

Takk for tipset! Startinnlegget er nå oppdatert!

[fjas]

Ingen som vet hvordan jeg skal løse problemet?

Jeg må ha gjort noe feil en plass, jeg ser bare ikke hvor..

Hjernen min har visst sluttet å fungere.

Jeg kunne virkelig trengt en hjelpende hånd her nå!

(Læreren i faget har jeg ikke fått tak i, så han får jeg ikke spurt)

[Vektormannen]

Begge de reduserte matrisene er riktige. For [tex]\lambda = 1[/tex] så får du to frie variable, f.eks. [tex]x_2 = s[/tex], [tex]s_3 = t[/tex] og da må [tex]x_1 = x_3 - 3x_2 = t - 3s[/tex]. Dette gir at alle egenvektorer til denne egenverdien må være på form [tex]s(-3,1,0) + t(1,0,1)[/tex]. Dette gir akkurat de samme vektorene som fastisvaret, for du kan erstatte t med en parameter t' = t - 2. Da får du [tex]s(-3,1,0) + (t^\prime+2)(1,0,1) = s(-1, 1, 2) + t^\prime (1,0,1)[/tex].

Systemet du får når [tex]\lambda = 3[/tex] gir den vektoren som er oppgitt når jeg regner i alle fall, så her har du kanskje blingset med noe hvis du ikke fikk det samme. Hvordan har du regnet?

[fjas]

Den første vektoren du fikk, fikk jeg også, så den er grei. Jeg forstår derimot ikke helt hvordan du kom frem til samme svaret som vist i fasiten.

Det gjelder forøvrig både for 1 og 3.