Konvergens/divergens igjen..

laks34 · 04/12-2011 15:16

Står fast på rekken 1/([symbol:rot] (n^2+3))

prøver å sammenligne med 1/n men det gir ingen konklusjon fordi 1/n divergerer og da må denne ligge uunder a_n hele veien noe den tilsynelatende ikke gjør.. ?

04/12-2011 15:26

Du kan sammenligne med den harmoniske rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/tex]. Du bør mistenke at også rekken din divergerer, for [tex]n^2+3[/tex] er nesten [tex]n^2[/tex], så [tex]\sqrt{n^2 + 3}[/tex] er nesten [tex]\sqrt{n^2} = n[/tex]. Hadde det ikke vært for 3-tallet hadde du altså hatt nettopp den harmoniske rekken.

Et triks for å vise dette blir å gjøre f.eks noe slikt: Vi har at [tex]n^2 + 3 < 4n^2[/tex] hvis [tex]n > 1[/tex]. Da må [tex]\sqrt{n^2 + 3} < 2\sqrt{n^2} = 2n[/tex]. Men da er [tex]\frac{1}{\sqrt{n^2+3}} > \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n}[/tex]. Kan du sammenligne da?

04/12-2011 15:37

Jeg kom ikke på det, men du har også en annen test du kan bruke. Dersom [tex]\sum_{n=1}^\infty b_n[/tex] divergerer og [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} > 0[/tex] så vil [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] også divergere.

laks34 · 04/12-2011 15:45

okay.. så b_n = 1/2n (divergerer fordi det er den harmoniske rekken * 1/2)
denne ligger under a_n for alle n>1 og derfor må også a_n divergere.

04/12-2011 15:56

Jepp, akkurat.

Men hvis den testen jeg postet i det forrige innlegget er kjent for deg så er vel den kanskje enklest å bruke. Det jeg gjorde i det første innlegget er jo kanskje litt vanskeligere å komme på.

laks34 · 04/12-2011 17:08

Vektormannen wrote:Jeg kom ikke på det, men du har også en annen test du kan bruke. Dersom [tex]\sum_{n=1}^\infty b_n[/tex] divergerer og [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} > 0[/tex] så vil [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] også divergere.

Dette ligner på "limit comparison test".. er litt usikker på når jeg skal bruek denne og når jeg må bruke sammenligningstesten... Står i boka at den er "..particulary useful for series in which a_n is a rational function of n"

04/12-2011 17:22

Det er ikke noe fast svar på når du skal bruke hvilken test. Det er jo ofte mange veier i mål. Forholdstesten er nok det første du vil prøve. Hvis den gir at grensen er 1, dvs. at ingen konklusjon kan gjøres, så kan du begynne å se på eventuelle sammenligninger. Da kan du gjøre slik som jeg gjorde i det første innlegget, eller du kan bruke denne testen her.