Hei!
Jeg har nå fått så mye feil, at hjernen kortslutter snart..
Jeg skal finne ut hvor mange tall mellom 10,000 og 99,999 som har to like tall. Jeg vet svaret er 52812, men sliter med å komme frem til dette.
Jeg skrev opp et mønster: [tex]kkxyz[/tex] hvor k er de like tallene, og xyz er de tre andre. For å få alle kombinasjoner, så stokker jeg om på mønsteret slik at jeg får ti ulike.
Jeg ser da at det er seks forskjellige mønstre hvor k er første siffer, og fire mønster hvor det er x,y eller z. Da kom jeg frem til at antall tall med to like var gitt ved:
[tex]6(9^2\cdot8) + 4\cdot9^3 = 6804[/tex]
Det var ikke før etterpå at jeg skjønte hvor jeg gikk feil.. Formelen min teller kun tall med to bestemte like tall, 5-ere for eksempel.. Den skal jo også ta med tilfeller med to 1-ere, to 2-ere, to 3-ere etc.
Takk på forhånd!
Kombinatorikk: antall tall med to like
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg antar oppgaven er å finne antall heltall mellom 10 000 og 99 999 som har to like siffer.
Det trenger ikke bare være de to første sifrene som er like.
F.eks kan et slikt tall være på formen kxkyz, og xyzkk.
Du må finne antall slike for enhver k, for k mellom 0 og 9. Husk å ta hensyn til at det første sifferet ikke kan være 0.
Dessuten, f.eks 55633 er både på formen kkxyz og xyzkk, så del opp i tilfeller: Tall som har nøyaktig 2 like siffer, nøyaktig 3, 4 og til slutt 5.
Hvis vi tar de som har nøyaktig 4 like sifre, får vi tall på formen kkkkx, kkkxk, kkxkk, kxkkk,kkkkx, der x er forskjellig fra k, for k mellom 0 og 9, tell disse, og gjør det tilsvarende for de andre mulighetene. Igjen, husk at det første sifferet ikke kan være 0.
Det trenger ikke bare være de to første sifrene som er like.
F.eks kan et slikt tall være på formen kxkyz, og xyzkk.
Du må finne antall slike for enhver k, for k mellom 0 og 9. Husk å ta hensyn til at det første sifferet ikke kan være 0.
Dessuten, f.eks 55633 er både på formen kkxyz og xyzkk, så del opp i tilfeller: Tall som har nøyaktig 2 like siffer, nøyaktig 3, 4 og til slutt 5.
Hvis vi tar de som har nøyaktig 4 like sifre, får vi tall på formen kkkkx, kkkxk, kkxkk, kxkkk,kkkkx, der x er forskjellig fra k, for k mellom 0 og 9, tell disse, og gjør det tilsvarende for de andre mulighetene. Igjen, husk at det første sifferet ikke kan være 0.
Her er de kombinasjonene jeg skrev ned:
[tex]xyzkk = \\ kkxyz = \\ xykzk = \\ kxkyz = \\ xykkz = \\ kxykz = \\ xkyzk = \\ kxyzk = \\ xkkyz = \\ xkykz =[/tex]
Tar jeg med null, får vi vel at: x kan velges blant 9 mulige (ikke null). Deretter kan Y og Z velges blant 9 og 8 mulige. Så kommer k, som kan velges på 7 måter.
(i begge avsnittene over tenker jeg at x er første siffer).
Siden rekkefølgen på faktorene ikke spiller noen rolle, får jeg vel følgende kombinasjon for hvert "mønster":
[tex]9\cdot9\cdot8\cdot7\cdot7 = 31, 752[/tex]
Der bomma jeg med 20, 000..
I bunn og grunn blir jeg bare mer og mer forvirret for hver gang jeg setter meg ned med oppgaven..
[tex]xyzkk = \\ kkxyz = \\ xykzk = \\ kxkyz = \\ xykkz = \\ kxykz = \\ xkyzk = \\ kxyzk = \\ xkkyz = \\ xkykz =[/tex]
- Når k er første siffer, må begge k velges på 9 måter.
- Når k ikke er første siffer, kan k velges på 10 måter
Tar jeg med null, får vi vel at: x kan velges blant 9 mulige (ikke null). Deretter kan Y og Z velges blant 9 og 8 mulige. Så kommer k, som kan velges på 7 måter.
(i begge avsnittene over tenker jeg at x er første siffer).
Siden rekkefølgen på faktorene ikke spiller noen rolle, får jeg vel følgende kombinasjon for hvert "mønster":
[tex]9\cdot9\cdot8\cdot7\cdot7 = 31, 752[/tex]
Der bomma jeg med 20, 000..
I bunn og grunn blir jeg bare mer og mer forvirret for hver gang jeg setter meg ned med oppgaven..
Ja, du må ta med i regnestykket hva x, y og z kan være. Husk at først betrakter du tilfellet hvor tallet har nøyaktig 2 like siffer. Deretter må du ta tilfellet hvor tallet har nøyaktig 3, 4 og til slutt 5 like siffer. Husk at k tar èn av mulighetene for x, y og z, så x har 9 muligheter, y har 8 og z har 7. Men husk at dersom x står som første siffer, har x kun 8 muligheter dersom k ikke er 0.
Så det kan være lurt å dele opp i 2 tilfeller for hver kombinasjon (en kombinasjon er f.eks kkxyz): der k = 0 og k ikke er 0.
Så det kan være lurt å dele opp i 2 tilfeller for hver kombinasjon (en kombinasjon er f.eks kkxyz): der k = 0 og k ikke er 0.
xyzkk
Det er et par ting som står uforklart, før jeg kan ta alle de andre.
k > 0:
[tex]\begin{align}x & y & z & k & k\\8&8&7&7&7\end{align}[/tex]
x kan være et tall [1, 9] bortsett fra tallet k => 8 kombinasjoner
y kan være et tall [0, 9] bortsett fra x og k => 8 kombinasjoner
z kan være et tall [0, 9] bortsett fra x, y og k => 7 kombinasjoner
k kan være et tall [0, 9] bortsett fra x, y og z => 7 kombinasjoner
[tex]\Rightarrow 8\cdot8\cdot7\cdot7\cdot7[/tex]
[tex]\begin{align}x & y & z & k & k\\9&8&7&8&8\end{align}[/tex]
x kan være et tall [1, 9] => 9 kombinasjoner
y kan være et tall [0, 9] bortsett fra x og k => 8 kombinasjoner
z kan være et tall [0, 9] bortsett fra x, y og k => 7 kombinasjoner
k kan være et tall [0, 9] bortsett fra y og z => 8 kombinasjoner
[tex]\Rightarrow 9\cdot8\cdot7\cdot8\cdot8[/tex]
Er jeg på rett spor?
kkxyz:
k kan ikke være 0.
[tex]\begin{align}k & k & x & y & z &\\9&9&9&8&7\end{align}[/tex]
k kan være et tall [1, 9] => 9 kombinasjoner
x kan være et tall [0, 9] bortsett fra k => 9 kombinasjoner
y kan være et tall [0, 9] bortsett fra k og x => 8 kombinasjoner
z kan være et tall [0, 9] bortsett fra k, x og y => 7 kombinasjoner
[tex]\Rightarrow 9\cdot9\cdot9\cdot8\cdot7[/tex]
Det er et par ting som står uforklart, før jeg kan ta alle de andre.
k > 0:
[tex]\begin{align}x & y & z & k & k\\8&8&7&7&7\end{align}[/tex]
x kan være et tall [1, 9] bortsett fra tallet k => 8 kombinasjoner
y kan være et tall [0, 9] bortsett fra x og k => 8 kombinasjoner
z kan være et tall [0, 9] bortsett fra x, y og k => 7 kombinasjoner
k kan være et tall [0, 9] bortsett fra x, y og z => 7 kombinasjoner
[tex]\Rightarrow 8\cdot8\cdot7\cdot7\cdot7[/tex]
- Siden k skal være to like tall, blir det feil å ta kombinasjonen til k to ganger? (7 * 7) ?
[tex]\begin{align}x & y & z & k & k\\9&8&7&8&8\end{align}[/tex]
x kan være et tall [1, 9] => 9 kombinasjoner
y kan være et tall [0, 9] bortsett fra x og k => 8 kombinasjoner
z kan være et tall [0, 9] bortsett fra x, y og k => 7 kombinasjoner
k kan være et tall [0, 9] bortsett fra y og z => 8 kombinasjoner
[tex]\Rightarrow 9\cdot8\cdot7\cdot8\cdot8[/tex]
Er jeg på rett spor?
kkxyz:
k kan ikke være 0.
[tex]\begin{align}k & k & x & y & z &\\9&9&9&8&7\end{align}[/tex]
k kan være et tall [1, 9] => 9 kombinasjoner
x kan være et tall [0, 9] bortsett fra k => 9 kombinasjoner
y kan være et tall [0, 9] bortsett fra k og x => 8 kombinasjoner
z kan være et tall [0, 9] bortsett fra k, x og y => 7 kombinasjoner
[tex]\Rightarrow 9\cdot9\cdot9\cdot8\cdot7[/tex]