Første sifre i fakultetfølge

[Karl_Erik]

Finnes det et positivt heltall [tex]n[/tex] slik at det første sifferet (fra venstre - det første sifferet i 123 er 1) i [tex](n+k)![/tex] er [tex]k[/tex] for [tex]k=1, 2, \ldots, 9[/tex]?

[Knuta]

Jeg vil tro det, hvis jeg ikke har misforstått oppgaven. Etter å ha kjørt den selvprogramerte tallkverna noen ganger stoppet jeg på n=10000000. Nå er riktignok det ikke det laveste tallet, men det er et eksempel. Men problemet mitt er at datatypen jeg bruker er på 17-18 siffers nøyaktighet, så er det noen med et 65 millioners heltallsprogram som kan bekrefte/avkrefte?

10000000! = 1.20242340051590325 * 10 ^ 65657059
10000001! = 1.20242352075824330 * 10 ^ 65657066
10000002! = 1.20242376124294745 * 10 ^ 65657073
10000003! = 1.20242412197007583 * 10 ^ 65657080
10000004! = 1.20242460293972461 * 10 ^ 65657087
10000005! = 1.20242520415202608 * 10 ^ 65657094
10000006! = 1.20242592560714858 * 10 ^ 65657101
10000007! = 1.20242676730529650 * 10 ^ 65657108
10000008! = 1.20242772924671034 * 10 ^ 65657115
10000009! = 1.20242881143166667 * 10 ^ 65657122

[Karl_Erik]

Tallene dine stemmer helt sikkert, og det er jo forsåvidt også morsomt å se at det første sifferet i n! kan være konstant på ni påfølgende heltall, men det var ikke det jeg mente - beklager om jeg har forklart meg uklart. Det jeg mente å spørre om var om et heltall n slik at (n+1)! har første siffer 1, (n+2)! har første siffer 2, (n+3)! har første siffer 3 og så videre opp til (n+9)!, som skal ha første siffer 9.

[Knuta]

Ok. jeg misforsto totalt Og ikke bare det, kverna mi gikk alt for langt. (feil i testene) Kunne strengt tatt startet med 104! og avsluttet den med 112!

Men hvis jeg forstår deg riktig nå, så ser det dårlig ut. Jeg klarer å få fram veldig mange serier på der k=1..6. men der stoppet det. Hvis jeg studerer tallene så er det lite trolig, kankje vi kan finne en serie på 7.

k=1, 1280! = 1.92551766158358741 * 10 ^ 3423
k=2, 1281! = 2.46658812448857548 * 10 ^ 3426
k=3, 1282! = 3.16216597559435376 * 10 ^ 3429
k=4, 1283! = 4.05705894668755587 * 10 ^ 3432
k=5, 1284! = 5.20926368754682174 * 10 ^ 3435
k=6, 1285! = 6.69390383849766594 * 10 ^ 3438

k=1, 1298! = 1.87097709594146814 * 10 ^ 3479
k=2, 1299! = 2.43039924762796711 * 10 ^ 3482
k=3, 1300! = 3.15951902191635725 * 10 ^ 3485
k=4, 1301! = 4.11053424751318078 * 10 ^ 3488
k=5, 1302! = 5.35191559026216137 * 10 ^ 3491
k=6, 1303! = 6.97354601411159627 * 10 ^ 3494

k=1, 126011494! = 1.99994262163691483 * 10 ^ 966018694
k=2, 126011495! = 2.52015759666686985 * 10 ^ 966018702
k=3, 126011496! = 3.17568828911756884 * 10 ^ 966018710
k=4, 126011497! = 4.00173235317073658 * 10 ^ 966018718
k=5, 126011498! = 5.04264288418109566 * 10 ^ 966018726
k=6, 126011499! = 6.35430988757343252 * 10 ^ 966018734

(hundrevis av serier på 6 mellom 1260114944 og 132040347!)

k=1, 132040347! = 1.74368620992125436 * 10 ^ 1014916535
k=2, 132040348! = 2.30236933960803478 * 10 ^ 1014916543
k=3, 132040349! = 3.04005651128744436 * 10 ^ 1014916551
k=4, 132040350! = 4.01410125770173104 * 10 ^ 1014916559
k=5, 132040351! = 5.30023339016478020 * 10 ^ 1014916567
k=6, 132040352! = 6.99844682519510915 * 10 ^ 1014916575

[FredrikM]

og det er jo forsåvidt også morsomt å se at det første sifferet i n! kan være konstant på ni påfølgende heltall,

Litt offtopic, men dette er kjent som "Benford's law" og har anvendelser i avsløring av forsikringssvindel.

[Karl_Erik]

Det er vel ikke helt Benfords lov i og med at den ikke sier noe om eventuelle 'blokker', men joda, det er et stilig fenomen.

[Knuta]

Da har jeg studert tallrekka og kommet fram til tja..

Jeg lagde en funksjon basert på tallene fra computeren. Fant raskt ut at sifferene i tallet 2^(1/3) er nøkkeltallet til n.


Så la oss anta n+1 = 125992104989... og at (n+1)! = 1999999999999...

så er
(n+1)! = 19999999999...
(n+2)! = 25198420997...
(n+3)! = 31748021039...
(n+4)! = 39999999999...
(n+5)! = 50396841995...
(n+6)! = 63496042078...
(n+7)! = 79999999999...


Som vi ser da fungerer denne bra, bortsett fra første siffer til (n+4)! er mindre enn 4. Konklusjonen min er at denne framstillingen er fysisk umulig så vi kan ikke finne større serier enn 6, som vist ovenfor. Jeg har ikke klart å lage lignende funksjoner med f.eks. 2^(1/4).

Men så var det beviset da...