Noen som kan hjelpe?
Matematikkens grunnlag
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Da jeg gikk der fantes kurset Analysens grunnlag: http://www.nabla.ntnu.no/wiki/index.php ... s_grunnlag
Jeg vet ikke om det var noe slikt du tenkte på..
Jeg vet ikke om det var noe slikt du tenkte på..
Her er en viktig og interessant problemstilling:
Den store Grunnkrisen innenfor matematikken; ingen hadde bevist at alle matematikkreglene egentlig fungerer. For et bevis for en påståand må bygge på et annet bevis, som igjen, må bygge på et annet bevis osv., men hvor er selve fundamentet? Det nederste beviset?
Problemet var; kan man bevise all matematikk ved å bruke matematikk? Utlede all matematikk ut fra enkle aksiomer? (Aksiomer = helt enkle, grunnleggende påstander, det kan vel sammenlignes med atomer i fysikk/kjemi, som er den minste enheten som ikke kan deles opp i enklere deler. Ok, så har man kvarker osv., men det får være en annen sak)
På 20-tallet startet matematikeren David Hilbert et prosjekt, "Hilberts program", for å forsøke å gjøre dette i praksis. Men han støtte på en del problemer og paradokser - det viste seg å være vanskelig.
I 1931 kom Kurt Gödel med beviset for sitt ufullstendighetsteorem, og dette ble spikeren i kista for Hilberts program.
Kurt Gödels ufullstendighetsteorem sier at i ethvert matematisk aksiomsystem sterkt nok til å uttrykke vanlig aritmetikk, vil det alltid finnes sanne påstander som er ubeviselige.
Og dette sparket bein under hele matematikken, det kan kanskje sammenlignes med tidene da man innså at det fantes irrasjonale tall?
Senere har folk prøvd å "redde restene" ved å lage systemer som er "nesten like bra" som det perfekte. Og dette er blitt et stort fagfelt.
Den store Grunnkrisen innenfor matematikken; ingen hadde bevist at alle matematikkreglene egentlig fungerer. For et bevis for en påståand må bygge på et annet bevis, som igjen, må bygge på et annet bevis osv., men hvor er selve fundamentet? Det nederste beviset?
Problemet var; kan man bevise all matematikk ved å bruke matematikk? Utlede all matematikk ut fra enkle aksiomer? (Aksiomer = helt enkle, grunnleggende påstander, det kan vel sammenlignes med atomer i fysikk/kjemi, som er den minste enheten som ikke kan deles opp i enklere deler. Ok, så har man kvarker osv., men det får være en annen sak)
På 20-tallet startet matematikeren David Hilbert et prosjekt, "Hilberts program", for å forsøke å gjøre dette i praksis. Men han støtte på en del problemer og paradokser - det viste seg å være vanskelig.
I 1931 kom Kurt Gödel med beviset for sitt ufullstendighetsteorem, og dette ble spikeren i kista for Hilberts program.
Kurt Gödels ufullstendighetsteorem sier at i ethvert matematisk aksiomsystem sterkt nok til å uttrykke vanlig aritmetikk, vil det alltid finnes sanne påstander som er ubeviselige.
Og dette sparket bein under hele matematikken, det kan kanskje sammenlignes med tidene da man innså at det fantes irrasjonale tall?
Senere har folk prøvd å "redde restene" ved å lage systemer som er "nesten like bra" som det perfekte. Og dette er blitt et stort fagfelt.
@plutarco: Det er vel kanskje det nærmeste jeg kommer?
@sEirik: det var dette jeg tenkte på! Vet du også om den bok hvor jeg kan lese mer om dette?
Mens jeg er her: hvordan vet vi at det til et hvert punkt på den reelle linje tilsvarer ett reellt tall, og omvendt?
@sEirik: det var dette jeg tenkte på! Vet du også om den bok hvor jeg kan lese mer om dette?
Mens jeg er her: hvordan vet vi at det til et hvert punkt på den reelle linje tilsvarer ett reellt tall, og omvendt?
Vi snakker om de reelle tallene på en "reell linje" fordi de reelle tallene tilfredsstiller vår geometriske intuisjon om at kurver i planet skjærer hverandre i et punkt om de går "gjennom hverandre". Dette gjelder ikke hvis vi hadde latt linja bestå av de rasjonale tallene. For eksempel; kurven definert som nullpunktene til x^2-2 skjærer x-aksen i [symbol:rot]2, som er reell men ikke rasjonal. På en måte kan vi da si at den rasjonale linja har "hull" som visse kurver faller gjennom.Emomilol skrev: Mens jeg er her: hvordan vet vi at det til et hvert punkt på den reelle linje tilsvarer ett reellt tall, og omvendt?
Den fundamentale egenskapen til de reelle tallene som gjør at kurver tilfredsstiller middelverdisetningen (kontinuerlige funksjoner skjærer den reelle linjen i et punkt) og andre egenskaper kalles "det fundamentale aksiomet". Aksiomet sier at "enhver stigende og oppad begrenset følge av reelle tall konvergerer mot et reellt tall", eller at R er komplett som et metrisk rom. Dette gjelder ikke for rasjonale tall.
Det er dette aksiomet (som forsåvidt kan bevises hvis man tar utgangspunkt i en konstruksjon av de reelle tallene f.eks gjennom rasjonale cauchy-følger) som gjør at vi kan gjøre matematisk analyse, dvs derivasjon, integrasjon og så videre.
Det finnes en god del gode wikipedia artikler om diskusjoner rundt dette emnet, f.eks den klassiske debatten mellom konstruktivistene og formalistene. Noen mente at matematikken skal være fullt og helt konstruktiv, dvs at man matematisk konstruerer de objektene man snakker om, mens andre godtok ikke-konstruktive aksiomer som utvalgsaksiomet (axiom of choice).
Utvalgsaksiomet i mengdelære sier at hvis man har en familie med ikketomme mengder, finnes en mengde som inneholder kun ett element fra hver av dem. Problemet med dette er at det i mange tilfeller ikke vil være slik at man kan finne en slik mengde, men likevel er det et aksiom at en slik mengde eksisterer.
Du kan jo kikke litt på følgende artikler:
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
http://en.wikipedia.org/wiki/Formalism_(mathematics)
http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism
http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Zfc
Det er endel linker fra disse artiklene som du også kan se på.
Jeg er enig med deg at dette er svært interessant, og det gir deg et litt annerledes syn ting.
Ellers er jo også Gödels arbeider med ukompletthetsteoremene som sEirik nevner også interessant. Gõdel viste essensielt at hvis man har et aksiomatisk system sterkt nok til å modellere peanoaritmetikk (de naturlige tallene og deres egenskaper), så er det ikke mulig å bevise innenfor systemet at det er konsistent (fri for motsigelser). Dessuten vil slike systemer inneholde ubeviselige påstander, som er sanne (fra et modellteoretisk perspektiv, selvsagt ikke sanne innenfor det aksiomatiske systemet). F.eks dannet Gödel et aritmetisk utsagn (en påstand innen peanoaritmetikk) som kunne oversettes til påstanden G som sier at "G er ikke beviselig". Hvis G var beviselig så er jo G usann og dermed ubeviselig, en motsigelse. Dermed er G ubeviselig, men da er jo G også sann.
Utvalgsaksiomet i mengdelære sier at hvis man har en familie med ikketomme mengder, finnes en mengde som inneholder kun ett element fra hver av dem. Problemet med dette er at det i mange tilfeller ikke vil være slik at man kan finne en slik mengde, men likevel er det et aksiom at en slik mengde eksisterer.
Du kan jo kikke litt på følgende artikler:
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
http://en.wikipedia.org/wiki/Formalism_(mathematics)
http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism
http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Zfc
Det er endel linker fra disse artiklene som du også kan se på.
Jeg er enig med deg at dette er svært interessant, og det gir deg et litt annerledes syn ting.
Ellers er jo også Gödels arbeider med ukompletthetsteoremene som sEirik nevner også interessant. Gõdel viste essensielt at hvis man har et aksiomatisk system sterkt nok til å modellere peanoaritmetikk (de naturlige tallene og deres egenskaper), så er det ikke mulig å bevise innenfor systemet at det er konsistent (fri for motsigelser). Dessuten vil slike systemer inneholde ubeviselige påstander, som er sanne (fra et modellteoretisk perspektiv, selvsagt ikke sanne innenfor det aksiomatiske systemet). F.eks dannet Gödel et aritmetisk utsagn (en påstand innen peanoaritmetikk) som kunne oversettes til påstanden G som sier at "G er ikke beviselig". Hvis G var beviselig så er jo G usann og dermed ubeviselig, en motsigelse. Dermed er G ubeviselig, men da er jo G også sann.
Sist redigert av Charlatan den 19/12-2010 00:54, redigert 2 ganger totalt.
Det virker som det du leter etter kan være en bok om matematisk logikk. Jeg er ikke student ved NTNU, så jeg vet ikke om dette tilbys der, men (med forbehold at jeg ikke har hatt kurset selv og derfor godt kan snakke tull nå) her er et kurs om dette ved UiO som "tar for seg første ordens logikk fream til kompletthetsteoremet og ufullstendighetsteoremet". Undersøker du hva slags bøker de bruker i det faget finner du sikkert noe kan lese på om du ikke finner noe tilsvarende ved NTNU.Emomilol skrev:@plutarco: Det er vel kanskje det nærmeste jeg kommer?
@sEirik: det var dette jeg tenkte på! Vet du også om den bok hvor jeg kan lese mer om dette?