Gøyale tall

[Karl_Erik]

La [tex]s(n)[/tex] være summen av sifrene til n i titallssystemet, og [tex]d(n)[/tex] være antall divisorer til n. Et positivt heltall N kalles gøyalt hvis det finnes m slik at [tex]d(m)=s(m)=N[/tex]. Finn det minste gøyale oddetallet større enn 1.

[Gustav]

Dersom jeg ikke har misforstått, vil vel N=2 være gøyalt med m=2. Summen av sifrene er 2 og antallet positive divisorer er 2.

[Vektormannen]

Det skulle vel være et oddetall?

[Karl_Erik]

Begge deler er riktig. 2 er gøyalt, og oppgaven er å finne det minste gøyale oddetallet større enn 1.

[Charlatan]

Vi har [tex]d(36)=d(2^23^2)=9[/tex], og summen av sifrene i 36 er 9. Så vi vil vise at d(m) og s(m) ikke samtidig kan være 3,5 eller 7. Siden [tex]d(p_1^{a_1}...p_n^{a_n})=(a_1+1)...(a_n+1)[/tex], ser vi at m må være en potens av et primtall ettersom 3,5 og 7 er primtall.

Anta at s(m)=d(m)=3. Da er [tex]m = p^2[/tex] for et primtall p. Dersom summen av sifrene er delelig med 3, så er også tallet delelig med 3, så p = 3, men det er umulig.

Dersom s(m)=d(m)=5, så er [tex]m = p^4[/tex] for et primtall p. Men vi vet at [tex]p^4 \equiv s(m) \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3}[/tex], men 2 er ingen kvadratisk rest modulo 3, så dette er umulig.

Til slutt, dersom s(m)=d(m)=7, så er [tex]m = p^6[/tex] for et primtall p. Nå har vi at [tex]p^6 \equiv s(m) \equiv 7 \pmod{9}[/tex], men vi kan raskt sjekke at 0 og 1 er de eneste mulighetene for [tex]p^6[/tex] modulo 9.

Det minste gøyale oddetallet større enn 1 er altså 9.

[Karl_Erik]

Helt riktig.

[sEirik]

Men hva er det minst gøyale tallet?

[Karl_Erik]

Antar du mener minste, med mindre du har en gøyalhetsmetrikk. I så fall er vel svaret 1, da gøyale tall er positive heltall, og d(1)=s(1)=1, så 1 er gøyalt.

[Charlatan]

Det minst gøyale tallet kan jo være det tallet m (hvis det finnes) slik at [tex]\frac{d(m)}{s(m)}[/tex] er størst eller minst. Uheldigvis finnes ingen slike m. Men både store primtall og potenser av 10 er i hvert fall svært lite gøyale.

[sEirik]

Jeg mente "minst", og ikke "minste".
Da finnes det i hvert fall ikke et tall som er det kjedeligste!

[Fibonacci92]

Ekstraoppgave: Finn et uinteressant tall.

Et interessant tall har noe som gjør at det utpeker seg på en eller annen måte.

1 er f.eks. det første naturlige tallet.
2 er f.eks. det eneste primtallet som også er partall.
3 er kjent fra eventyr og sagn og frasen "Alle gode ting er 3"

Vet at denne oppgaven kan være litt søkt, men er det noen som kan finne et uinteressant tall?

[Karl_Erik]

I prinsippet ikke - er vel en vits av typen "La S være mengden av alle uinteressante positive heltall, og la n være det minste elementet i S. Men det er jo ganske interessant!" som gir et søkt bevis (til en søkt oppgave ) for at dette ikke kan finnes.

(Antar en utvalgsaksiomet kan en konstruere en velordning av R og med et tilsvarende argument vise at det ikke finnes noen uinteressante reelle tall om det var det du mente. )

[Fibonacci92]

Finner dessverre ingen innvendinger mot beviset;)