Litt mer generelt ang kontinuitet

[yankee]

La oss si man har denne funksjonen:

f(x) = cosxsin(1/x) hvis x [symbol:ikke_lik] 0.
0 hvis x=0.

Og man skal finne ut om den er kontinuerlig.

Skal man bruke skviseteoremet her og vise at grenseverdien finnes, eller er den en annen metode som skal brukes?

Hva har det å si at det står "0 hvis x=0", hvordan påvirker det fremgangsmåten?

[FredrikM]

At funksjonen *ikke* er kontinuerlig i 0, er det samme som at [tex]\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)[/tex].


Hint:

Se på følgen
[tex]x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi k}[/tex] når [tex]k \to \infty[/tex].

[Realist1]

Sliter med den samme. Hvordan viser man at den er kontinuerlig?

[espen180]

Kan man ikke bruke at [tex]\sin(g(x))[/tex] er en odde funksjon hvis [tex]g(x)[/tex] er en odde funksjon?

[FredrikM]

Poenget er at den *ikke* er kontinuerlig i 0.

Det er nok å finne en følge [tex]x_n[/tex] som konvergerer til 0, men slik at [tex]\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq f(0)=0[/tex].

Se på følgen jeg skrev i min forrige post.

[Karl_Erik]

Det er da ikke sikkert at funksjonen er så kontinuerlig. Tenk på det sånn - når x går mot 0 går cos x mot 1, mens sin 1/x flimrer fortere og fortere mellom -1 og 1. Altså vil funksjoen svirre vilt mellom disse to verdiene, og fortere og fortere jo nærmere vi kommer 0. Intuitivt betyr jo dette at samme hvor lite intervall vi velger om origo vil f(x) være både -1 og 1 i det, så det er ikke så vanskelig å føre et standard [tex]\epsilon - \delta[/tex] bevis for at den -ikke- er kontinuerlig i origo. Alternativt kan en bruke lemmaet Fredrik hadde og vise at [tex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x)[/tex] ikke eksisterer. Dog lurer jeg på om følgen han mente å bruke var [tex]x_n = \frac 1 {\frac \pi 2 + \pi k}[/tex].

[FredrikM]

Dog lurer jeg på om følgen han mente å bruke var [tex]x_n = \frac 1 {\frac \pi 2 + \pi k}[/tex].

Nei. Nettopp fordi denne grensen er udefinert. Det er lett å vise at kontinuitet i et punkt er det samme som at funksjonen "bevarer grenser". Da holder det å finne én følge som konvergerer til 0 slik at [tex]\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq f(0)[/tex].

[Karl_Erik]

Beklager, min feil. Jeg trodde du forsøkte å vise at grensverdien når f(x) gikk mot 0 ikke eksisterte, noe som opplagt ville gitt at funksjonen var diskontinuerlig i 0, men nå ser jeg hva du mente, ja.

[Realist1]

Sorry, det var visst ikke helt den samme jeg slet med. Den lignet litt ved første øyekast så jeg ble lurt :p Noen tips til denne, lignende oppgaven?

Gitt funksjonen
[tex]h(x) = \left\{ {\sin{x}\cos{\frac{1}{x}} \ \ \rm{if }x\neq 0 \atop 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rm{if }x=0}[/tex]

Vis at h(x) er kontinuerlig.

[FredrikM]

Her kan du "skvise".

Bare legg merke til at [tex]0 \leq |\sin x \cos \frac{1}{x} | \leq |\sin x|[/tex]

Og bruk at [tex]\sin x[/tex] er kontinuerlig i 0.

[Realist1]

Takker. Må innrømme at jeg har hatt en latterlig sløv start på semesteret, og er egentlig ikke kommet i gang enda, så jeg har ikke sett på skviseteoremet enda. Skal gjøre det når jeg kommer hjem fra fotballtrening i kveld. Takk for svar.

[yankee]

Men hvordan ser man at man kan bruke skviseteoremet på den siste der mens den første må man bruke en annen metode. Hvorfor kan man ikke bruke samme metode i begge tilfellene?

[FredrikM]

Fordi i det ene tilfellet går den ene faktoren klart til 0, mens i den andre til 1.