Ulikhet i tre variable
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi viser først (1): Anta at a>b>0.
[tex]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq \frac{4}{ab} \\ \Leftrightarrow a^2b^2+(a-b)^2(b^2+a^2) \geq 4ab(a-b)^2 \\\Leftrightarrow a^2b^2+(a-b)^4 \geq 2ab(a-b)^2 [/tex]
som følger av AM-GM.
For ulikheten vi skal vise kan vi av symmetrien anta uten tap av generalitet at (2) a>b>c.
Ved å bruke (2) og (1) har vi at
[tex]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(a-c)^2} \geq \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} \geq \frac{4}{ab} \geq \frac{4}{ab+bc+ac}[/tex]
Gitt a>b>c har vi likhet hvis og bare hvis c = 0 og [tex]a^2b^2=(a-b)^4 \Leftrightarrow a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}b[/tex]
[tex]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq \frac{4}{ab} \\ \Leftrightarrow a^2b^2+(a-b)^2(b^2+a^2) \geq 4ab(a-b)^2 \\\Leftrightarrow a^2b^2+(a-b)^4 \geq 2ab(a-b)^2 [/tex]
som følger av AM-GM.
For ulikheten vi skal vise kan vi av symmetrien anta uten tap av generalitet at (2) a>b>c.
Ved å bruke (2) og (1) har vi at
[tex]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(a-c)^2} \geq \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} \geq \frac{4}{ab} \geq \frac{4}{ab+bc+ac}[/tex]
Gitt a>b>c har vi likhet hvis og bare hvis c = 0 og [tex]a^2b^2=(a-b)^4 \Leftrightarrow a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}b[/tex]